搜索
第六节带电粒子在匀强磁场中的运动[学习目标]1.理解带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场后做匀速圆周运动．2.会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式，并会用这些公式分析问题．3.知道质谱仪和回旋加速器的结构及其工作原理．,[学生用书P86])一、带电粒子在匀强磁场中的运动(阅读教材第99页第1段至第100页第2段)1．洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．(2)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．2．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动．(2)半径和周期公式：质量为m，带电荷量为q，速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv2r，可得半径公式r＝mvqB，再由T＝2πrv得周期公式T＝2πmqB，由此可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r无关．拓展延伸►———————————————————(解疑难)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题的分析研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径r＝mvqB，三求周期T＝2πmqB或时间”的基本思路分析．1．圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，其圆心一定在与速度方向垂直的直线上．通常有两种确定方法．(1)已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)．(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)．2．运动半径的确定作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r＝mvBq联立求解．3．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝α360°T(或t＝α2πT)．可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长．二、质谱仪(阅读教材第100页例题至第101页第3段)1．原理：如图所示．2．加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝12mv2①3．偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝mv2r②4．结论：由①②两式可以求出粒子的半径r、质量m、比荷qm等．其中由r＝1B2mUq可知电荷量相同时，半径将随质量变化．5．质谱仪的应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素．拓展延伸►———————————————————(解疑难)1．带电粒子在质谱仪中加速后在磁场中偏转半径r＝1B2mUq.2．同位素在质谱仪中半径越大，质量就越大．3．照相底片上有几条谱线就有几种同位素．4．谱线的明显不明显可以说明这种同位素含量的多少．三、回旋加速器(阅读教材第101页第4段至第102页第3段)1．构造图(如图)2．工作原理(1)电场的特点及作用．特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的电场．作用：带电粒子经过该区域时被加速．(2)磁场的特点及作用．特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中．作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个周期后再次进入电场．拓展延伸►———————————————————(解疑难)1．交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定．2．带电粒子的最终能量：由r＝mvqB知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝q2B2R22m.可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R.3．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝EkmUq(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次．4．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝n2T＝nπmqB(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2.带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法——三步法．1．画轨迹：即确定圆心，几何方法画出半径及运动轨迹．2．找联系：半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．3．用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．——————————(自选例题，启迪思维)1.如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电荷量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：(1)电子从磁场中射出时距O点多远？(2)电子在磁场中运动的时间是多少？[思路探究]怎样确定轨迹圆的圆心？半径R为多大？圆心角为多大？[解析]设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示．(1)据牛顿第二定律知：Bev＝mv2R由几何关系可得，d＝2Rsin30°解得：d＝mvBe.(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝π3，又周期T＝2πmBe因此运动时间：t＝θT2π＝π32π·2πmBe＝πm3Be.[答案](1)mvBe(2)πm3Be2.如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，带电粒子质量m＝3×10－20kg，电荷量q＝10－13C，速度v0＝105m/s，磁场区域的半径R＝3×10－1m，不计粒子的重力，求磁场的磁感应强度B.[思路探究]如何确定轨迹圆的圆心并求出半径R?[解析]画进、出磁场速度方向的垂线得交点O′，O′点即为粒子做圆周运动的圆心，据此作出运动轨迹AB︵，如图所示，此圆半径记为r，则O′AOA＝tan60°，所以r＝3R.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝mv20r，所以B＝mv0qr＝3×10－20×10510－13×33×10－1T＝33×10－1T.[答案]33×10－1T3.如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角为θ＝30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？[解析]电子在磁场中运动，只受洛伦兹力F作用，故其轨迹AC是圆周的一部分，又因为F垂直于v，故圆心就是电子进入和穿出磁场时两速度垂线的交点，如图中的O点．由几何知识可知，AC︵所对圆心角为θ＝30°，OC为半径r，则r＝dsin30°＝2d由r＝mveB得m＝2deBv由于AC︵所对圆心角是30°，因此穿过磁场的时间为t＝30°360°·T＝112T，又T＝2πrv，故t＝112·2πrv＝πd3v.[答案]2deBvπd3v[借题发挥]带电粒子的匀速圆周运动的求解关键是通过粒子入、出磁场时两点速度方向画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识确定圆心及相应的半径，从而找到圆弧所对应的圆心角，根据圆心角和圆周角的关系确定带电粒子在磁场中的运动时间．对质谱仪和回旋加速器原理的理解[学生用书P88]两种仪器都是电加速和磁偏转的综合，电场加速可以用qU＝12mv2来解决，而在磁场中的偏转利用半径和周期公式来解决．——————————(自选例题，启迪思维)1.回旋加速器D形盒中央为质子流，D形盒的交流电压为U，静止质子经电场加速后，进入D形盒，其最大轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B，质子质量为m、电荷量为e.求：(1)质子最初进入D形盒的动能；(2)质子经回旋加速器最后得到的动能；(3)交流电源的周期．[思路探究]质子在D形盒中运动的动能取决于加速的次数，而粒子最终获得的动能由回旋加速器的半径决定，而交流电源的周期与质子在D形盒中做圆周运动的周期相同．[解析](1)质子在电场中加速，由动能定理得：eU＝Ek－0，解得Ek＝eU.(2)质子在回旋加速器的磁场中绕行的最大半径为R，由牛顿第二定律得evB＝mv2R①质子的最大动能：Ekmax＝12mv2②解①②得：Ekmax＝e2B2R22m.(3)T＝2πmeB.[答案](1)eU(2)e2B2R22m(3)2πmeB2.如图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是()A．质谱仪是分析同位素的重要工具B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于EBD．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小[解析]质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具，选项A对；速度选择器中静电力与洛伦兹力是一对平衡力，即qvB＝qE，故v＝EB，选项C正确；据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，选项B对；粒子在匀强磁场中运动的半径r＝mvqB，即粒子的比荷qm＝vBr，由此看出粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子运动的半径越小，粒子的比荷越大，选项D错．[答案]ABC3.回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是()A．增大匀强电场间的加速电压B．增大磁场的磁感应强度C．增加周期性变化的电场的频率D．增大D形金属盒的半径[解析]粒子最后射出时的旋转半径为D形盒的最大半径R，R＝mvqB，Ek＝12mv2＝q2B2R22m.可见，要增大粒子的动能，应增大磁感应强度B和增大D形盒的半径R，故正确答案为B、D.[答案]BD[借题发挥](1)带电粒子的最终动能与加速电压U无关，由D形盒半径决定，由R＝mvqB得Ek＝q2B2R22m.(2)带电粒子能够回旋加速，在磁场中运动周期和电场交变周期一定相等，即T磁＝T电．带电粒子在有界磁场中的临界问题[学生用书P89]此类题是高考的热点，解决的方法是画出临界情况的轨迹图，从而确定圆心、半径和圆心角，充分利用临界条件，如切点，并应用周期公式和半径公式来求解．——————————(自选例题，启迪思维)1.一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图所示，一粒子质量为m，带电荷量为－q，不计重力，以一速度v(方向如图中所示)射入磁场．若要粒子不能从磁场右边界飞出，则粒子的速度应为多大？[思路探究]找出临界情况(圆轨迹与EF相切)，画圆轨迹图来确定半径，求解临界速度．[解析]若要粒子不从右边界飞出，当以最大速度运动时的轨迹如图所示．由几何知识可求得半径r，即r＋rcosθ＝L，r＝L1＋cosθ，又qvB＝mv2r，所以v＝Bqrm＝BqLm（1＋cosθ），即粒子的速度v≤BqLm（1＋cosθ）.[答案]v≤BqLm（1＋cosθ）2.长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()A．使粒子的速度vBql4mB．使粒子的速度v5Bql4mC．使粒子的速度vBqlmD．使粒子的速度Bql4mv5Bql4