物理光学与应用光学(第二版)课件第三章.

第3章光的衍射第3章光的衍射3.1衍射的基本理论3.2夫朗和费衍射3.3菲涅耳衍射3.4光栅和波带片3.5傅里叶光学基础3.6二元光学概论3.7近场光学简介例题第3章光的衍射3.1衍射的基本理论3.1.１光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。第3章光的衍射如图3-1所示，让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔Σ，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影(图3-1(a))；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应地变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环(图3-1(b))，当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不但不跟着变小，反而会增大起来。这就是光的衍射现象。第3章光的衍射图3-1光的衍射现象第3章光的衍射3.1.2惠更斯—惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是:如图3-2所示的波源S，在某一时刻所产生波的波阵面为Σ，则Σ面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面Σ′，即是该时刻这些球面次波的包迹面，波阵面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其强度分布。菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面Σ′上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面(例如Σ面)上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯—菲涅耳原理。第3章光的衍射图3-2惠更斯原理第3章光的衍射利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。根据惠更斯—菲涅耳原理，图3-3所示的一个单色光源S对于空间任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面Σ上各点发出的次波在P点相干叠加的结果。假设Σ波面上任意点Q的光场复振幅为E(Q)，在Q点取一个面元dσ，则σ面元上的次波源对P点光场的贡献为~dreQECKPEdikr)(~)()(~第3章光的衍射图3-3单色点光源S对P点的光作用第3章光的衍射式中，C是比例系数；r=QP,K(θ)称为倾斜因子，它是与元波面法线和QP的夹角θ(称为衍射角)有关的量，按照菲涅耳的假设：当θ=0时，K有最大值；随着θ的增大，K迅速减小；当θ≥π/2时，K=0。因此，图中波面Σ上只有ZZ′范围内的部分对P点光振动有贡献。所以P点的光场复振幅为dKreQECPEikr)()(~)(~(3.1-1)这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯—菲涅耳公式。第3章光的衍射当S是点光源时，Q点的光场复振幅为ikReRAQE)(~(3.1-2)式中，R是光源到Q点的距离。在这种情况下，E(Q)可以从积分号中提出来，但是由于K(θ)的具体形式未知，不可能由(3.1-1)式确切地确定E(P)值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。~~第3章光的衍射3.1.3基尔霍夫衍射公式1.假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播(图3-4)，在t时刻、空间P点处的光电场为tiePEtPE)(~),((3.1-3)若P是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：01222tEcE(3.1-4)第3章光的衍射图3-4积分曲面第3章光的衍射将(3.1-3)式代入，可得0)(~)(~22PEkPE(3.1-5)式中,k=ω/c，该式即为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。现在假设有另一个任意复函数G，它也满足亥姆霍兹方程~0~~22GkG(3.1-6)第3章光的衍射且在Σ面内和Σ面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。如果作积分dnGEnEGQ~~~~(3.1-7)其中，表示在Σ上每一点沿向外法线方向的偏微商，则由格林定理，有n/dnGEnEGdVGEEGV~~~~)~~~~(22式中，V是Σ面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在V内处处为零，因而0)~~~~(22dVGEEGV第3章光的衍射根据所满足的条件，可以选取为球面波的波函数：G~G~reGikr~这个函数除了在r=0点外，处处解析。因此，(3.1-7)式中的Σ应选取图3-4所示的复合曲面Σ+Σε，其中Σε是包围P点、半径为小量ε的球面，该积分为0~~~~dnGEnEG(3.1-8)(3.1-9)第3章光的衍射由(3.1-8)式，有reikrrnrGrnnGikr1),cos(~),cos(~(3.1-10)对于Σε面上的点，cos(n,r)=-1,r=ε,所以，reikrnGikr1~因此)(~401~~4~~~~2PEeikEnEednGEnEGikik第3章光的衍射故有drenEreNEPEikrikr~41)(~这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围任一闭合曲面Σ上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更斯—菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。(3.1-11)第3章光的衍射2.现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。如图3-5所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔Σ，用点光源S照明，并设Σ的线度δ满足λδMin(r,l)第3章光的衍射图3-5球面波在孔径Σ上的衍射第3章光的衍射drenErenEPEikrikr~~41)(~21其中Min(r,l)表示r,l中较小的一个。为了应用基尔霍夫积分定理求P点的光场，围绕P点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以P点为中心、R为半径的大球的部分球面Σ2。在这种情况下，P点的光场复振幅为(3.1-12)第3章光的衍射下面确定这三个面上的。对于Σ和Σ1面，①在Σ上，的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。因此nEE/~~和nEE/~~和iklelAE~iklelAliklnnE1),cos(~(3.1-14)式中，A是离点光源单位距离处的振幅，cos(n,l)表示外向法线n与从S到Σ上某点Q的矢量l之间夹角的余弦。(3.1-13)第3章光的衍射②在不透明屏的背照面Σ1上，E=0,。通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰Σ处的场，特别是开孔边缘附近的场。在Σ1上，光场值也并非处处绝对为零。但是严格的衍射理论表明，在上述开孔线度的限制下，误差并不大，作为近似理论处理，仍然可以采用这种假定。对于Σ2面，r=R,cos(n,R)=1,且有0/~nEReikRReRikRenikRikRikR11第3章光的衍射因此，在Σ2上的积分为dREiknERedEiknEReikRikR2~~41~~412式中，Ω是Σ2对P点所张的立体角，dω是立体角元。索末菲(Sommerfeld)指出，在辐射场中，0~~limREiknER(索末菲辐射条件)，而当R→∞时，(eikR/R)R是有界的，所以上面的积分在R→∞时(球面半径R取得足够大)为零。第3章光的衍射通过上述讨论可知，在(3.1-12)式中，只需要考虑对孔径面Σ的积分，即drenErenEPEikrikr~~41)(~将(3.1-10)式和(3.1-13)、(3.1-14)式代入上式，略去法线微商中的1/r和1/l(它们比k要小得多)项，得到dlnrnrelEiPEikr2),cos(),cos()(~)(~(3.1-15)第3章光的衍射此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式。与(3.1-1)式进行比较，可得iClnrnKelAlEQEikl2),cos(),cos()()(~)(~第3章光的衍射因此，如果将积分面元dσ视为次波源的话，(3.1-15)式可解释为：①P点的光场是Σ上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与波长λ成反比；②因子(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波π/2；③倾斜因子K(θ)表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。如果一平行光垂直入射到Σ上，则cos(n,l)=-1,cos(n,r)=cosθ，因而2cos1)(K)(~QE当θ=0时，K(θ)=1,这表明在波面法线方向上的次波贡献最大;当θ=π时，K(θ)=0。这一结论说明,菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设K(π/2)=0是不正确的。(3.1-16)第3章光的衍射在上面的讨论中，我们假定了光从光源到P点除有衍射屏外，没有遇到其它任何面，且入射光波是球面波。将这种讨论推广到光波为更复杂形状的情况，结果发现，只要波阵面各点的曲率半径比波长大得多，所包含的角度足够小，则基尔霍夫理论的结果与惠更斯—菲涅耳原理推断的结果仍大体相同。进一步考察菲涅耳—基尔霍夫衍射公式可以得出：①该式对于光源和观察点是对称的，这意味看S点源在P点产生的效果，与在P点放置同样强度的点源在S点产生的效果相同。有时，称这个结论为亥姆霍兹互易定理(或可逆定理)。②由基尔霍夫衍射公式的讨论，可以得到关于互补屏的衍射光分布——巴俾涅(Babinet)原理。第3章光的衍射若两个衍射屏Σ1和Σ2中，一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分对应，反之亦然，这样一对衍射屏称为互补屏，如图3-6所示。设和分别表示Σ1和Σ2单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上P点的光场复振幅，表示无衍射屏时P点的光场复振幅。根据上述讨论，和可表示成对Σ1和Σ2开孔部分的积分，而两个屏的开孔部分加起来正好是整个平面，因此，(3.1-17)这个结论就是巴俾涅原理。该式说明，两个互补屏在衍射场中某点单独产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。因为光波自由传播时，光场复振幅容易计算，所以利用巴俾涅原理可以方便地由一种衍射屏的衍射光场，求出其互补衍射屏产生的衍射光场。)(~1PE)(~2PE)(~0PE)(~1PE)(~2PE012()()()EPEPEP第3章光的衍射图3-6互补衍射屏第3章光的衍射由巴俾涅原理立即可以得到如下两个结论：①若＝0，则。因此，放置一个屏时，相应于光场为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场与没有屏时一样；②若＝0,则。这就意味着在＝0的那些点，和的相位差为π，而光强度I1(P)＝和I2(P)=相等。就是说，两个互补屏不存在时光场为零的那些点，互补屏产生完全相同的光强度分布。例如，当一个点源通过一理想透镜成像时，像平面上的光分布除了O点源像点附近外，其它各处强度皆为零。这时，如果把互补屏放在物与像之间，则除O点附近以外，均有I1=I2。)(~1PE)(~)(~02PEPE＝)(~1PE)(~)(~21PEPE＝－)(~0PE)(~1PE)(~2PE21)(~PE22)(~PE第3章光的衍射3.