物理竞赛课件10曲线运动的动力学解

曲线运动发生的条件♠合外力方向与速度方向不在一直线ΣFvΣFnΣFt切向力改变速度大小ttvFmamt法向力改变速度方向2nnvFmam求解曲线运动的动力学方法♠物体运动情况分析物体受力情况分析XY如图所示，滑块A质量为M，因绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上，鼓轮以等角速度ω转动．不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT与距离x之间的关系．专题10-例1BxArωO分析滑块A受力：AMgFNFTvvtvn重力Mg、导轨支持力FN，绳子拉力FT分析滑块A运动：A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点B的平动及以切点B为中心的转动的合成tvrtannvr由牛顿第二定律:2sinsinco:stTNvFFMXgMxA实际运动沿水平sinTNMgFF22tansinsinsincosTTrFMgFMgMx由几何关系2222tancosrxrxxr422522TMrxxFrBAω如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动．绳子另一端绕过离杆距离为L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系．XY分析滑块A受力：MgFNFT重力Mg、绳子拉力FT、导轨支持力FN分析滑块A运动：vAv0vt滑块沿导轨向上的运动速度vA可视作沿绳向滑轮B的法向速度v0及以B为中心转动的切向速度vt的合成！0tantvvxL由牛顿第二定律:222sincos:tTNvFFMgMxXLA实际运动沿竖直，在水平方向满足sinTNFF20222sincosTTLvxFFMgMxL202222coscosTvLFMgMxxL202221coscosTvLMgFgxxL2222031vLxLMgxxg如图所示，长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂质量为m的一重物．再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为m的另一个重物．轴以恒定角速度ω转动．试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度．ωmgmg设第一根线上拉力为FT1，第二根线上拉力为FT2FT2FT1在竖直方向1cos2TFmg2cosTFmg在水平方向2tansinsinmgml212sinsinsinTTFFml2tansinsinlg22tantansinlg2tantansin2lg0如图所示，小物块质量为m，在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为at=gsinα，式中α为螺旋线的切线与水平面的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小．rABCD小物块切向加速度的水平分量为：sincostxag产生这个加速度的切向水平力大小：sincosFmg此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方向水平之力，其对轴产生的力矩即为使柱面绕中心轴转动的力矩：sincosMmgrsin22mgrvv如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上，右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离时，圆木对固定支架的压力FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计）2ABrBrOAr2AOB由几何关系知分析圆木受力mgFNAFNB重力mg、支架A、B支持力FNA、FNB分析圆木运动：圆木质心O绕A点转动v圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度O对A点转动的线速度22Ovv22v圆木的运动方程222ONAvmgFmr4522vmr2222NAvmgrFvOFN2222NFvmgr22vgr否则圆木已与固定支架脱离如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ．VrvLf22RrL小球圆运动的半径设为RR22VrL分析小球受力绳拉力T；桌面摩擦力f∵小球圆周运动，在法向有222cosTmrL手拉端速度PTv322rLmrLvrω∵小球匀速圆周运动，在切向有sinfT222RRLmL有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆线(长Ｌ)与竖直线所成的夹角都很小．已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比．两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能RmgF1F2F1mgF2R分析各球受力及运动轨迹rrmgmg2212tansinsinmgmRFFmr下球上球其中122coscosmgmgFFtan2tantanRr在α、β小角度的条件下sintanxxx1221Rr22gL等号两边相除得2sinsinsinLL由几何关系得222gR22♣水平直径以上各点的临界速度⑴在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车……线绳vmgFT2sinTvFmgmRRsinRg当FT=0时，v临界=v轨道mgFN在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是：sinvgR⑵在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥……轨道mgFN2sinNvmgFmRsinRg当FN=0时，v临界=在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是：sinvgR♣机械能守恒2211222mgRmvmv下上♣最高点与最低点的弹力差2vFmgmR下下6mgFF下上♣能到达最高点的最低点速度5vRg下♣恰能到达最高点，最低点加速度5agv上mgFN上v下mgFN下2vmgFmR上上2211222mgRmvmv下上♣竖直面内的匀速圆周运动mgFNFfvmgFNvFfW0非如图所示，一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静止不动．若使小球获得一个水平初速度，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点O．专题10-例2023vag小球运动轨迹会通过悬点O，是因为线绳在水平直径上方与水平成某一角度α时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动Ovv0yx0绳上张力为零时小球达临界速度sinvag该过程机械能守恒:22011sin1sin22mvmagmga图示23sin21sinagaggasin33h小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有21cos2hvtgt3/3ag2361332avtgt23223230gtagta23tag续解这段时间内小球完成的水平位移为sinxvt查阅332333aagg6cos3aaOyx063a说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为63,33aa的悬点O!33a图中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上．B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端．现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置.然后让小球从静止状态下摆．如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？专题10-例3BAmgv分析小球B下摆时受力：L2sinTvFmgmL小球动力学方程小球机械能守恒21sin2mgLmv分析木块A受力：AMgFNTFfmF木块静止须满足cossinTfmTFFMgFcossinTTFMgF23sincos3sinmgMgmg23cossin1cot3mMm23tan1cot3mMm33tancotmMmM由基本不等式性质：3tancotMmM当tan3MMmmax323mMMm323mMMm则如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率．专题10-例4mgFNCO球壳静止时，与桌边接触的一点O为其支点，球壳二力平衡!轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心C将以支点O为轴，以球半径R为半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子．设球壳“不再接触桌子的瞬时”球心速度为vmg2cosvmgmR1coskmgRE球壳动力学方程球壳机械能守恒EC质心对O的转动动能212OEmv球壳对质心C的转动动能2111cos23mgRmv22516vgRvgR611vgR例52112lim2nCiiniEmv22112lim2sinsin22224nnimvRRiRinnRnRxy用微元法计算球壳对质心的转动动能ECωC2ni将球壳面分割成宽的一条条极细的环带2Rn第i条环带的质量22sin224immRRinnR第i条环带的速率sin2ivvRiRn整个球壳对过C而垂直于竖直面的轴的转动动能为2311limsin222nnimvinn2111lim3sinsin322422nnimviinnn21313sinsinsinsin122222222lim33822sinsin44nnnnnnnnnmvnnnn211383mv213mv返回筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下．如索道形状为的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量为m的质点，求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力.专题10-例524xay在以竖直向上方向为y轴正方向建立的坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线．0yxa2avvg由质点机械能守恒212mgamv2vag质点在抛物线顶点的动力学方程FNmg2NvFmgm其中抛物线顶点的曲率半径由22vgvg2NFmg如图所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球a置于地面，球b从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同．求a球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角．balL设a球恰要离地时两绳夹角为θ，此时a球与地面无挤压,绳上张力恰与a球重力相等mgmgFT21cos2mvmglb球机械能守恒b球动力学方程2cosTvFmgmlmgcos2cosmgmgmg3cos111cos3如图所示，长为l的轻杆上端有一个质量为m的小重物，杆用铰链固接在A点，并处于竖直位置，同时与质量为M的物体互相接触．由于微小扰动使系统发生运动．试问质量之比M/m为多少情况下，杆在脱离物体时刻与水平面成角α＝π/6，这时物体的速度u为多少？MmlA小重物与物体恰要脱离时两者接触而无挤压,故物体的加速度为零!小重物只受重力，小重物与物体水平速度相同mg30vu则2vu过程中系统机械能守恒2111sin622mglmvMu224vm