物理竞赛课件7曲线运动曲直谈

一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点速度方向一定变化切向力改变速度大小法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解微元法曲线运动的加速度♠质点的瞬时加速度定义为0limtvatAvBvnvtv0limnntvat0limtttvat为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度an与切向加速度at．OA点曲率圆nAvvABnAvvABtt0limAnta0limAtvABt2nvaA点曲率圆半径0limtttvataB在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？专题7-例1依据实际运动效果分解船的运动：v0Avvnhsvt船及与船相系的绳端A的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v分解成沿绳方向“收短”的分速度vn和垂直于绳方向的转动分速度vt;注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：0nvv00cotthvvvs0sinvv则220hsvs求船的速度续解求船的加速度在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0:Avv0vtAvv0tv0sinvv读题011sinsinvv由加速度定义得：0limtvat0costancosthhtvv由几何关系得：cosh00011sinsinlimtancosvahv则200sinsincoslimtansinsinvh200cossincos22limtansinsin2vh230cotvh2203vhs320vhhs质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度at与法向加速度an，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢．如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．专题7-例2vAaAOβsatan由题给条件22tnataR则222,AntaasvRt而22,AtvatsR2nttaataR222sttR2tanntaa又tan2如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．将M点加速度沿切向与法向进行分解!vaMAlOatan法向加速度2sinnvaaR22avlsin=2而lR2sinvaR如图所示，曲柄OA长40cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度!杆上A点加速度2AalOABCωθaAaAyaC20.05m/sBa21sin2AyAaalθ此即滑杆C的加速度CAyaa代入数据得滑杆C的加速度有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．设Δt时间内，v2方向变化Δθ,Δθ→0时:FLABDABv1v2v2vv21vtv21tanvtL由加速度定义，猎犬加速度0limtvat20limtvt12avvL赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1s内速度由10.0m／s加大到10.5m／s，那么该赛车在半径为30m的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10m/s？（公路的路面是水平的）直线加速时车的加速度:20005m/stvvat在环形公路上，法向加速度2tnvaR0ttvvat切向加速度2220ntaaa代入数据4210.50.2525900t0.15t200mvaR当轨道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，赛车速率不会增加m20mR质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v．设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt，由题意有本题用微元法210limiiiitivvvtR1201limliminiiitniivvTtRv则1111limnniiiRvv01121111111nRvvvvvv111limniiniiivvRvv011Rvv00RvRvvT若速率从v0减小,有00RvRvvTy质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动．如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．专题7-例3AO本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成u设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置AyBxOAuωrBrutt经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt的位置B，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B′在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为cossinyvutruttu在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为sincosxvutruttr注意到Δt→0时cos1tsintt20t续解0limyAytvat读题0limturuttut2r0limxAxtvat0limtrututrt2u224Arau方向与x成1tan2ru2r2u牵连加速度Aa相对中介参考系的加速度a相对牵连加速度牵连2ar2au科yxOA由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向u沿ω方向转过90°的方向返回试手如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以等角速度ω绕顶点O转动，某一点M以等相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时的速度与加速度．求质点的速度OABMω引入中介参照系-三角形OAB质点对轴O的速度（相对速度）三角形A点对轴的速度（牵连速度）质点对轴O的速度（绝对速度）vM2Avb2MAbvvMAvA?MAMAvvv三速度关系为vM22222222cos4524Mbbvbb4528412b方向与AB夹角12tan21续解求质点的加速度aaaaMMAA科相对中介参考系的加速度0MAa牵连加速度22ba科22AabOABMωaAa科aM222222222cos4522Mbbabb22221b方向与AO夹角11tan21规律曲线运动轨迹的曲率♠曲线的弯曲程度用曲率描述曲线上某点的曲率定义为s0limtKs圆周上各点曲率相同:R1KRR曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心!M1用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为a和b.专题7-例4设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角1cosba对椭圆长轴端的A点:A1aA12AAva对A点投影A1点:21Avab1cosAAAbaaaa又2Aba椭圆短轴端B点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaB22cosBBvvab2Bab用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.专题7-例5yxOp2p22ypx设质点以速度v0做平抛运动平抛规律0212xvtygt在中消去t得2202vshgshO22ypxv0v2hvghPg对轨迹上的P点:2cosvg式中2202vvgh020cos2vvgh2200022vghvggvh2200,2vvgg322002vghgv32202021ghvvg3221xppg22Pp抛物线上x=p/2点P试手旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处处相同．试用运动学方法求解曲率半径ρ值．设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有02hrhvv设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ则20nvar22020hvvrv22214hrr0vhv220hvvhr受恒力作用力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动vx◎物体在时刻t的位置20222100121,tan22ssvthgtgtxvtgtsv方向与成shs◎物体在时刻t的速度0221000,tanshvvvvgtgtvvgtvv方向与成0vhv0vv水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成返回0sin2cosvtg220sin2cosHvg平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!Hxyv0g02tanvg空中飞行时间距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成!如图所示，小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板．当跳板高h为何值时，冰球飞过的距离s最远？它等于多少？HhAB222.hSgHhHhhg物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:由基本不等式性质,2HhhHh当时maxSH两个质点以加速度g在均匀重力场中运动．开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v1＝3.0m／s；另一个质点水平速度v2＝4.0m／s，方向与前者相反．求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离．当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示:v1vyv1tv2tv2vy122tancottan3vv由矢量图得1tan23yvv而m/s1ta0.3n2vtgs12Svvt则m735如图，一仓库高25m，宽40m．今在仓库前lm、高5m的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度v0之值最小？（g取10m/s2）hSv0lvBAHB45过B点时速度方向与水平成45°时，可以最小的vB越过40m仓库顶!2sin45cos45BBvSvg由BvgS220sinsin452BvvgHh从A到B竖直方向分运动有0sinsin45cos45BBvvlvg从A到B水平方向分运动有2031lm14.6mx岸木排停泊在河上，到岸的距离L＝60m