特征向量与特征方程

第五章特征值与特征向量矩阵的对角化本章主要介绍矩阵的特征值与特征向量，进而引出相似矩阵和矩阵的对角化，最后针对实对称矩阵进行对角化。第一节矩阵的特征值与特征向量定义1设A是n阶矩阵，如果存在数和n维非零列向量使得A=(5.1)成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，n维非零列向量称为A对应于特征值的特征向量。如果α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,则α的任何一个非零倍数kα也是A的属于特征值λ的特征向量,因为从(5.1)式可以推出()()AkkAk这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的,相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。111122121122221122()0()0(5.2)()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax根据定义,若α为n阶矩阵的属于特征值λ的特征向量，则α为齐次线性方程组(A-λE)X=0，即的非零解，反之亦然。111212122212()0nnnnnnaaaaaafaaa即：它有非零解的充要条件为|A-λE|=0上式是以λ为未知量的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。其左端|A-λE|是λ的n次多项式，记为f(λ)，称为方阵A的特征多项式。1||,AfAE（）写出矩阵的特征多项式()=求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：20fA（）求出特征方程()的所有根,即的特征值。3A,（）对的每个特征值求齐次线性方程组()0AEX的基础解系。12α,α,α,r设为：1α,riiikA那么即为矩阵对应于的全部特征向量0ik其中不全为。123A2,1的特征值为的特征值和特征向量例1求矩阵201034011A解：A的特征多项式为110|AE|4301022(2)(1)12(A2E)x0.当时，解方程1111p(0)2kk所以是对应于特征值的全部310100A2E410~010100000由10p01得基础解系：特征向量。231(AE)0.x当时，解方程21p21得基础解系：22223p(0)1kk所以是对应于特征值的全部210101101AE420~210~012101000000特征向量。211A020413解：A的特征多项式为211020413AE2(2)(1)123A12的特征值为，例2求的特征值和特征向量11(AE)0.x当时，解方程11p01得基础解系：111101AE030~0104140001111p(0)1kk所以是对应于特征值的全部特征向量。232(A2E)x0.当时，解方程2301p1,p014得基础解系：411411A2E000~000411000223323pp(,0)kkkk所以不全为是对应于特征值232的全部特征向量。设n阶矩阵A=(aij)有n个特征值为λ1,λ2,…,λn,(k重特征值算作k个特征值)，则11(1)nniiiiia1(2)niiA其中是的主对角线元素之和，称为矩阵的迹，记作tr(A)。niiia1证明：22()()ApAApApApp而例3设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征值。A是方阵的特征值，,,pApp非零向量使得22A是矩阵的特征值。kkA依此类推,是的特征值。AAkk若是方阵的特征质值，则是的特征值；性2矩阵特征值、特征向量的性质性质1方阵A与AT的特征值相同。Aff（）是（）的特征值,其中2012,mmfaaaa（）2012AEAAAmmfaaaa（）。1AA*||是的特征值.1A-1是的特征值；性质3（定理1）设λ1,λ2,…,λn是矩阵A的互不相同的特征值，α1,α2,…,αn是其对应的特征向量。则α1,α2,…,αn是线性无关的。推论1设λ1,λ2,…,λs是n阶矩阵A的S个互不相同的特征值，对应于λi的线性无关的特征向量为αi1,αi2,…,αir(i=1,2,…,s)。则由所有这些特征向量构成的向量组111121,,,,r221222,,,,r12,,,,ssssr线性无关。小结1.矩阵的特征值、特征向量的概念2.矩阵的特征值、特征向量的计算3.矩阵的特征值、特征向量的性质第二节相似矩阵和矩阵的对角化本节先给出相似矩阵的概念，然后介绍把方阵进行对角化。一、相似矩阵对角矩阵是最简单的一种矩阵,现在考虑对于给定的n阶方阵A,是否存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵,这就称为把方阵A对角化。为此,首先给出相似矩阵的概念。定义1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆阵P,使得P-1AP=B则称B是A的相似矩阵，或说A与B相似,记A～B对A进行的运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系,具有如下性质(1)反身性A～A；(2)对称性若A～B,则B～A；(3)传递性若A～B,B～C,则A～C。111||||||BEPAPEPAPPEP定理1若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值相同。证：设A～B，则存在可逆阵P,使得P-1AP=B，推论1相似矩阵的行列式相同,迹相同,秩也相同。1||||||||PAEPAE二、矩阵的对角化定理2：n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,P必要性设有可逆矩阵1212()()nnA,,,,,,证明：112,(,,,)-nPAPdiag其中使得12(),nPP,,,将按列分块，则有,1,2,,,iiiAin因而12,nP,,,因为所以都为非零可逆向量且为充分性设矩阵A有n个线性无关的特征向量α1,α2,…,αn它们对应的特征值分别为λ1,λ2,…,λn121212()()nnnA,,,,,,线性无关组,12,,,n的特征向量A因而它们分别是对应于特征值,APPΛ即联系上节定理1，可得推论2如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化。1,PAPΛAΛ故有即与相似12,n,,,P又线性无关可逆,1234,2A的特征值推论3n阶矩阵A的每一个ri重特征值对应有ri(i=1,2,…,s)个线性无关的特征向量的充要条件是A相似于对角矩阵。321222361A例1矩阵A能否对角化？若能,求出对角阵Λ及相似变换矩阵P,使P-1AP=Λ,若不能,说明理由。解:先求特征值及对应的特征向量()0AEX求基础解系。112322101013A的特征值对应的特征向量为123121(,,)210301P矩阵A可对角化，且相似矩阵变换可取为1422PAP则[(4)]0AEX[1]0AEX例2设3阶方阵A，4E-A和A+5E都不可逆，问A能否对角化？若能，写出其对角阵。0~45A即解：因为A，4E-A和A+5E都不可逆，所以A有0，4，-5三个不相等的特征值，从而它有三个线性无关的特征向量。一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化，这是一个比较复杂的问题，我们不做一般性讨论，只讨论实对称矩阵的情形，这是下一节的内容第三节实对称矩阵的对角化本节研究对象是实对称矩阵，先介绍实对称矩阵的一些性质，然后着重介绍实对称矩阵的对角化。一、实对称矩阵的一些性质1.共轭矩阵(),()ijijijijAaAaAaa设为复数域上的矩阵称为的共轭矩阵。其中是的共轭复数。BABA)1(容易验算共轭运算有如下性质:AkkA)3(AA)4(并不是任何矩阵都可对角化，但实对称矩阵一定可对角化,且其特征值与特征向量有许多特殊的性质。BAAB)2(定理1实对称矩阵A的特征值为实数。2.实对称矩阵性质定理2实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交。推论1实对称矩阵的每一个ri(i=1,2,...,s)重特征值恰好有ri个线性无关的特征向量。定理3设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使得P-1AP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。二、将实对称矩阵A对角化的步骤：(1)求出特征多项式所有的根,即A的特征值,设为,其重数分别为,其中;0)(EAfs,,,21srrr,,,21nrrrs21(2)对每个求出个线性无关的特征向量,利用正交化方法,把它们正交单位化,得到个相互正交的单位特征向量;),,2,1(siiirir(3)把属于每个特征值的正交单位特征向量放在一起,得到A的n个相互正交的单位特征向量,以它们作为列,得正交矩阵,且),,2,1(siiQ),,,,,,(111ssdiagAQQAQQ14001031,013,APPAPΛ例设求一个正交阵使得为对角阵。解：2123(4)(2)0,24即特征值为，,0EA矩阵A的特征方程为4000310,013200100011~011,011000此方程组的基础解系为11232000201100110xxx当时，解方程10011,2112p单位特征向量为123230000401100110xxx当时，解方程000011011~000,011000此方程组的基础解系为100,1.01这是一组正交向量组12301011(,,)02211022Pppp于是正交矩阵4421ΛAPP问题：使A对角化的矩阵P是唯一的吗？230110,2012pp单位化得1,1ArAnr为的重特征值为的重特征值2(2)||(1)(1),|3|242rnrrnrnrAEAEA由的特征多项式为11AnAA（）由于为阶对称正交矩阵，故必能相似于对角矩阵，且的特征值只能为。解：3A,1Ar1A2|3EA|.n例设为阶对称正交矩阵为的重特征值。（）求的相似对角矩阵；（）求(1,,1,1,,1)rnrAΛdiag个个因而的相似对角矩阵为三小结2实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的一些性质