特殊三角形存在性问题

承载信任★助力圆梦No1页特殊三角形的存在性问题1、等腰三角形存在性问题(一)例题讲解例1.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有______个．(二)课堂练习1.操作：在△ABC中，AC=BC=2,∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种.探究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么大小关系？它们的关系为，不必写出证明过程.（本问1分）（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE为等腰三角形时线段CE的长）；若不能，请说明理由.（本问4分）（3）若将三角板顶点放在斜边上的M处，且AM∶MB=1∶n（n为大于1的整数），和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么大小关系？仿照图①、图②、图③的情况，请选择一种，写出证明过程.（本问满分3分，仿照图①得1分、仿照图②得2分、仿照图③得3分；图④供操作、实验用）.①PACBDEEPACBD③②EPACBD承载信任★助力圆梦No2页2.已知：如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OCAC，120C．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；3.如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．图①ABCOxyQP承载信任★助力圆梦No3页OyxDCBA4．已知：如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6.OA、OB的长是关于x的方程01272xx的两个根，且OAOB.(1)求cos∠ABC的值；(2)若E是x轴正半轴上的一点，且316AOES，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似，同时说明理由；(3)点M在平面直角坐标系中，点F在直线AB上，如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，请直接写出F点坐标。（此问与等腰三角形的存在性问题一致）5.（2013绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。ABCDOxyl承载信任★助力圆梦No4页6.（2013山西）综合与探究：如图,抛物线213442yxx=--与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。7、（2013宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．承载信任★助力圆梦No5页FEMDABCPQ8、如图，已知：矩形ABCD,AB=6,BC=4,点P从点B出发在边BC上以每秒2个单位的速度向点C运动，过点P作射线PM⊥BC交AD于点M,同时点Q从点P出发沿射线PM以每秒6个单位的速度运动，当点P到达点C时，所有点均停止运动.在整个运动过程中，取PQ的中点E，以QE为直角边在射线PM的右侧作Rt△QEF，使两直角边之比为3:4（即QE:EF=3:4）,设运动时间为t秒.(1)当点F在CD上时，求出此时t的值.(2)求出QF经过点D时t的值.(3)设直角三角形QEF与矩形ABCD重叠部分的面积是S，求S与t之间的函数关系式.(4)直接写出△CPF为等腰三角形时t的值.承载信任★助力圆梦No6页9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm．动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设运动的时间为t秒(t≥0)．(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；(2)在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；(3)设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．2、直角三角形存在问题(一)例题讲解例1.如图，抛物线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴交于点C，且OAOCOB3．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交y轴于D点，E为抛物线顶点．若DBC，求,CBE的值．ABCDEF承载信任★助力圆梦No7页DCBA(二)课堂练习1．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，B＝90º，AB＝12cm，BC＝9cm,DC＝13cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为xcm，△PCD的面积为ycm2.（1）求AD的长；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.2.已知抛物线22xxy．（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．承载信任★助力圆梦No8页3.如图，已知二次函数1212mxxy的图象过x轴上点A（21，0）和点B，且与y轴交于点C.（1）求此二次函数的解析式；（2）若点P是直线AC上一动点，当∠OPB=90°时,求点P坐标.（3）若点P在过点C的直线bkxy上移动，只存在一个点P使∠OPB=90°,求此时这条过点C的直线的解析式.4.已知抛物线1C如图1所示，现将1C以y轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线2C.(1)求抛物线2C的解析式；(2)在图1中,将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,请直接(不需要写过程)写出矩形的周长；（与直角三角形的存在性问题类似）(3)如图2,若抛物线1C的顶点为M，点P为线段BM上一动点(不与点M、B重合),PN⊥x轴于N，请求出PC+PN的最小值.承载信任★助力圆梦No9页相似三角形的存在性问题(一)例题讲解例1.如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，承载信任★助力圆梦No10页yxEQPCBOA求出P点的坐标；若不存在，说明理由。(二)课堂练习1.已知抛物线2yaxbxc经过53(33)02PE，，，及原点(00)O，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得OPC△与PQB△相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？例1题图图1OAByxOAByx图2承载信任★助力圆梦No11页2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠55CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD△与ADE△是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。3.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCOOxy练习2图CBEDAClx承载信任★助力圆梦No12页与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围．4.如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三