独立性,随机变量函数的分布.

11、随机变量的独立性第13讲独立性、随机变量函数的分布2、离散型随机变量函数的分布主要内容：重点：1；2；4难点：1；33、连续型随机变量函数的分布4、二维离散型随机变量函数的分布定义分别是二维随机变量设)(),(),,(yFxFyxFYX分布函数，若对任意的联合分布函数和边缘),(YX都有的实数,,yx)()(),(yFxFyxFYX相互独立。与成立，则称随机变量YX独立与是离散型，则若YXYX),(jiijppp..独立与是连续型，则若YXYX),()()(),(yfxfyxfYX一、随机变量的独立性XY120161626162ixP3132jYP21211例1若X,Y具有联合分布率}1,0{YXP则有},1{}0{YPXP61}2,0{YXP},2{}0{YPXP61}1,1{YXP},1{}1{YPXP62}2,1{YXP},2{}1{YPXP62故X与Y独立。例2设(X,Y)的分布律为12312XY619118131相互独立。与取何值时，应满足什么条件？求：YX,)2(,)1(31,0,0)1(且解：12312XY619118131的边缘分布，先求出),()2(YX.ipjp.31312191181相互独立与YXjiijppp..)181(31181,91923112312XY8161.ipjp.练习1：设X与Y相互独立，用适当的数字填充下表：811241414312121318341例3对于上一讲例1中的随机变量，和YX由上节练习知：)(xfX,0,22xex其他，,0)(yfY,0,yey其他，,0),()(),(yfxfyxfYX.是相互独立的和因而YX得),(yxf,0,0,e2)2(yxyx.,0其他其它＝,0),(,2),(DyxyxfdyyxfxfX),()(其它010xxdy02x2:}0,10),({),(3上服从均匀分布，求在区域设二维随机变量例xyxyxDYX.)2(;),)(1(是否独立与的联合密度和边缘密度YXYX解dxyxfyfY),()(其它010y12ydx,22y其它0102)(xxxfX)()(),(yfxfyxfYX不独立。与故YX的密度函数为设练习),(3YX得由解：1),(dxdyyxf其它＝,0,1,),(22yxycxyxf.)3(;)2(;)1(的独立性与两个边缘密度常数求YXc11dx122xydycx1421c其它,011),(821)(62xxxxfX其它,010,27)(25yyyfY不独立。与故YX附：n个随机变量的相互独立性有若对于所有的nxxx,,,21.,,,21是相互独立的则称nXXX),()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn二、离散型随机变量的函数的分布.)(XfY记作xXxf的一切可能值是定义在随机变量设)(的的取值随着若随机变量xXY的集合上的函数,,)(的值值而取xfy为随机变则称随机变量Y,的函数量X?)(的分布如何来求随机变量XfY,的分布若已知的随机变量X问题：例5,具有以下分布律设随机变量XY试求.)1(2的分布律XXp21012.03.01.04.0解.4,1,0所有可能取的值为Y}0{YP}0)1{(2XP}1{XP,1.0}1{YP}2{}0{XPXP,7.0}4{YP}1{XP2.0的分布律为即得YYkp0141.07.02.0,是离散型随机变量如果X)(XgY其函数.也是离散型随机变量的分布律为若XXkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XgYkp)(XgYkppp21)()()(21kxgxgxg注意,)(中有值相同的若kxg.合并应将相应的kp练习3设Xkp211616263的分布律则52XYYp412121三、连续型随机变量的函数的分布例6具有概率密度设随机变量X)(xfX,8x,40x,0其他..82的概率密度求随机变量XY解.)(),(,yFxFYXYX的分布函数为分别记.)(yFY下面先来求)(yFY}{yYP}82{yXP28yXP.28yFX,)(求导数关于将yyFY的概率密度为得82XY)(yfY2828yyfX,212881y,4280y,0其他)(yfY2828yyfX,212881y,4280y,0其他,328y,168y,0其他练习4：设随机变量其他,41,0,31)(yyfY,13],1,0[~XYUX的概率密度。求Y的概率分布为果数是一个随机变量，如的函作为一个二元函数，则是，是二维离散型随机变量设),(),(),(),(),(YXYXYXgZyxgYX),2,1,(},{jipyYxXPijji的概率分布为则Z}),({}{kkzYXgPzZP,},{),(kjizyxgjiyYxXP,,2,1k四、二维离散型随机变量的函数的分布例7设二维随机变量的联合分布为）（YX,11YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二维随机变量的函数Z的分布:.)2(;)1(XYZYXZ解：的概率分布可得由),(YXijp),(YXYXZ1XYZ20.20.150.10.30.100.10.05(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)（2,2）-2-101123410-1-2-2024把Z值相同项对应的概率值合并可得:1Zip-2-1012340.20.150.10.400.10.05-2-101240.40.10.150.20.10.052Zip练习5设随机变量的联合分布为）（YX,YX0100.20.410.30.1求二维随机变量的函数Z的分布:.)2(;)1(XYZYXZ重要结论：相互和设),,,(),,,(2121nmYYYXXX.),,2,1(),,2,1(相互独立和则njYmiXji,,是连续函数又若gh,(),,,(121YgXXXhm和则定理独立,.),,2相互独立nYY2、离散型随机变量的函数的分布：列表计算3、连续型随机变量的函数的分布：分布函数法1、随机变量的独立性:五、小结4、二维离散型随机变量的函数的分布：列表计算)()(),(yFxFyxFYX独立与是离散型，则若YXYX),(jiijppp..独立与是连续型，则若YXYX),()()(),(yfxfyxfYX第四次上交作业:第五章：5，6，12，14第六章：1，3，9