现代信号处理时频分析的基本概念

现代信号处理Modernsignalprocessing时频分析的基本概念•时宽与带宽的基本概念•不定原理•短时傅立叶变换-101RealpartSignalintime0797515951LinearscaleEnergyspectraldensity5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=48,Nf=192,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]),sin(),sin(),sin()(321nnnnx11102211NnNNnNNn-0.500.51RealpartSignalintime0182365LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4WV,lin.scale,contour,Threshold=5%Time[s]Frequency[Hz])exp()exp()(2njnnjnx线性频率调制信号分辨率的基本概念•“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）•分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法•对在时域具有瞬变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态参考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11傅立叶变换的局限性-TT0Atx(t)ΩX(Ω)02AT矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。反映了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾傅立叶变换的局限性•缺乏时频定位功能•不适合分析非平稳信号•分辨率上的局限性傅立叶变换缺乏时频定位功能，根本原因是什么？信号的时宽与带宽djXdttxtxE22122|)(||)(|||)(||能量信号02|)(|1)(tdttxtEt02|)(|21)(dXE式中||.||表示求范数，X(jΩ)是x的傅立叶变换。这样，归一化函数x(t)2/E及x(Ω)2/E可看作是信号在时域和频域的密度函数。信号的时宽与带宽2022122012|)(||)(|)(tdttxtdttxttEEtdXE2202|)(|)(212022|)(|21dXE定义2t，2Ω分别是信号的时宽和带宽定义tΩ为信号的时宽－带宽积信号的时宽与带宽举例)exp()()(2241ttx00t1E22222)exp(dttt212t21t05.0-40-30-20-1001020304000.050.10.150.20.250.30.350.4Gausssignalx(t)-0.500.50246810121416theSpectrumofx(t)例：)()(jFtf)()()()(jFjtfnn傅立叶变换的微分性质djFdttfE22)(21)(Parseval恒等式bababadxxgdxxfdxxgxf222)()()()(Schwarz不等式不确定原理的预备知识不确定原理dttxtEt2212|)(|dXE22212|(|dXdttxtEt22222122|)(||)(|2dttxdttxtEt222122|)(||)(|22122|)()(|2dttxttxEt信号的时宽与带宽2022122012|)(||)(|)(tdttxtdttxttEEtdXE2202|)(|)(212022|)(|21dXE定义2t，2Ω分别是信号的时宽和带宽定义tΩ为信号的时宽－带宽积瞬时频率)()()(tjetAtx)()()(ttdttdi)()(21ttfi设由两个chirp信号相加而成，它们有着相同的幅度，第一个chirp信号的频率在0～0.3之间线性变化，第二个在0.2～0.5之间线性变化。(a)是该信号的时域波形，(c)是其实际的瞬时频率。显然，在任一时刻，该信号都包含两个频率分量。图(b)是按上式的定义计算出的瞬时频率，它在任一时刻都是单值的，其形状不能反映该信号频率变化的实际内容。020406080100120140-202real(x(t))2040608010012000.20.4frequency2040608010012000.20.4TimeNormalizedfrequency2040608010012000.050.10.150.20.250.30.350.40.45|STFT|2,Lh=16,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]多分量信号，(a)时域波形，(b)按定义求出的瞬时频率，(c)信号实际的瞬时频率短时傅立叶变换(ShortTimeFourierTransform，STFT)detgxetgxtSTFTetggjjxjt)()()(),(),()()(*.dgxt)()(*,1||)(||g1||)(||,tg在时域用窗函数去截对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在时刻得该段信号得傅立叶变换。不断地移动，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。短时傅立叶变换deetgGjjt)()(,tdetgetjtj)()()(tjeG)()(deGXGXgtxtjtt)(*,,)()(21)(),(21)(),(deGXetSTFTtjtjx)()(21),(*deGXetSTFTtjtjx)()(21),(*对信号在时域加窗，相应的频域也要加窗dgdgtt222,22|)(||)(|)(dGdGt222,22|)(|21|)(|)(21t1t2Ω2Ω1vGt22,vGt11,vvjtetgg)()(,0)()()(),(00jjxetgdetgtSTFT)()(0x0)(jextjjjxeGdetgetSTFT)(000)()(),(STFT的时间分辨率由窗函数的宽度决定STFT的频率分辨率由窗函数的频谱宽度决定两个实例窗函数时域频域高斯窗函数-0.500.5RealpartSignalintime084168LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=63,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能1)(g-0.500.5RealpartSignalintime084167LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=0,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能)()(g-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=27,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]窗函数宽度为55501t321t902t322t25.0f-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=6,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]窗函数宽度为13501t321t902t322t25.0f-101RealpartSignalintime0797515951LinearscaleEnergyspectraldensity5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=48,Nf=192,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]),sin(),sin(),sin()(321nnnnx11102211NnNNnNNn例1（续）：时频分析的三维表示例2：线性频率调制信号-0.500.51RealpartSignalintime0182365LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4WV,lin.scale,contour,Threshold=5%Time[s]Frequency[Hz])exp()exp()(2njnnjnxSTFT实例及分析30020010050不同宽度的窗函数STFT实例及分析STFT实例及分析ddetgxdetSTFTjjx)(2121)()(),()()()()()(tgxdtgxdetSTFTtxtjxg),()()0(21dtdetgtSTFTxjx)(),()(21detgxedetgxtSTFTtjtjjx)()()()()(),(短时傅立叶反变换])()([),(tjtjxetgtxetSTFT)()(),(GXdtetSTFTtjxdtdetgdeGXjtj)(])()([2121ddeGXj)(22121|)(|)(dGdeXj221)(21|)(|)()()(tgtg)()(21)(xdeXj