现代分析基础结课作业Hilbert空间性质介绍

Hilbert空间性质介绍摘要在这篇文章中，主要是为了介绍Hilbert空间的一些性质，并且把线性分析中各个空间的性质进行了描述，这也是为了更好的描述Hilbert空间及其性质做好基础，并且把各个空间的性质关系进行了讲述，总结了在线性分析基础这门课程中的收获与感悟。引言学习了线性分析基础的课程之后，我对于空间的理解有个更加深刻的认识，同时也对各种空间的应用与关系有着许多的困惑与不解，老师的课程十分精彩，介绍了许多原来没有接触过的知识，同时我感觉到了线性分析基础这门课程的重要性。在接下来的文章中，我们主要想对Hilbert空间及其性质进行介绍，在介绍Hilbert空间之前，必须把Hilbert建立的基础进行描述，甚至文章的一大部分都在描述可测空间、测度空间、赋范线性空间和Banach空间等，但是这些空间的性质也在Hilbert空间中得以体现，可以认为Hilbert空间是这些空间基础上比较特殊的一类空间，它在满足这些空间所具有的性质的同时也有着自己特殊的性质以及应用。Hilbert空间是在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数，如果其对于这个范数来说是完备的，那么这个复向量空间就是希尔伯特空间。这里已经说明了希尔伯特空间是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），可以根据它的特点和性质来进行扩展，得到我们想要得到的可以加以利用的空间。另外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。在下面的文章中，我们将详细的对所学的知识进行整理和阐释。关键词可测测度空间范数完备性Banach空间内积空间Hilbert空间1.可测空间及其性质首先我们要对拓扑空间进行一定的了解。假设X是一个集合，如果有一个子集族，我们定义为τ，满足以下的几点性质：（1）.空集ø和集合X是在子族集当中。（2）在这个子集族τ内的元素满足交运算封闭。(3)τ中元素族集的并运算封闭。那么我们称τ为X上的一个拓扑，称X为拓扑空间，而τ中的元素成为拓扑的开集，在X中，如果一个集合是这个开集的余集，那么称为闭集。当开集中的包含一个X中的元素x时，称做点x的邻域。在这里我们必须要注意一点，那么就是并的运算因子可以是任意多个，但是交运算的只能是有限多个，因为有限多个开集的交一定还是开集，但无限多个开集的交可能结果并不是开集。在很多的时候，我们都会考虑量度的问题。那么怎么定义什么是可量度的什么是不可量度的呢，我们比较关心前面的一个问题，只要把我们关心的可以量测的东西取出来就好了。这就是我们要考虑的可测性了。接下来我们了解一下可测空间的定义。仍然假设集合X，我们先了解环的定义：如果X中的一些元素构成的非空族合集为M,M内部的元素满足加减的运算封闭（也即为对可列交可列并运算封闭，并包含ø），那么我们称M为X的环。当加上一个增强条件，满足M中的族合元素包括满集X的时候，我们就称M为一个代数，这样，M的元素就称为X的可测集，（X，M）称为可测空间。这里，我们应当知道可测空间的二元组的M是代数，是包含X在其中的，所以它也有取余运算封闭的性质。而可测函数的定义则是如下;当有两个拓扑空间X，Y的时候，函数f是从X到Y的内部映射，若对Y的每一个开集 V，那么1f（ V）是X中的开集，那么就称f是连续的。当X是可测空间的时候，函数f是从X到Y的内部映射，若对Y的每一个开集 V，那么1f（ V）是X中的可测集，那么就称f是可测的，特别的，当Y是实数集的时候，f是可测函数。可测函数具有以下的性质：设X、Y、Z是3个拓扑空间，f、g分别是从X到Y和从Y到Z的内部映射，并且g是连续的，那么（a）f是连续的，h=f·g是从X到Z的内部映射，并是连续的；（b））f是可测的，h=f·g是从X到Z的内部映射，并是可测的。可测函数还有其它的很多性质，这里就不多做介绍。2.度量空间以及其性质在定义了可测空间之后，我们要考虑另外一个重要的性质，就是在可测的空间定义出来之后我们怎么对它们进行定义量度。因此接下来要了解测度的定义：测度是定义在可测空间上的一个非负的函数，另外，既然为测量所用的，那么必须满足其中的逻辑,首先，空集ø的测度为零，测度为零的也必是ø，另外，必须满足互不相交的集合的可列可加性，这一点也很好理解，多个可测的集合并且它们之间没有交集，那么它们相加的集合的测度一定是等于每个集合的测度相加。测度是在可测集合上定义的，称XM为测度空间，这里的即为测度，只要满足上述的要求，可以根据我们的要求来进行定义，但是要注意M的取得太大可能导致我们取不到合适的测度。因此在这里我们还比较关心的的有Borel集的测度，B是X内最小的代数。注意测度空间是三元组而可测空间是二元组，而可测性与测度也是两个不同的概念，可测性是可以确定的，测度则是可以根据我们的使用来进行定义的。举一个比较简单的例子来说明我们以上学习的概念，就如概率统计来说，其中集合X就是所有的可能的事件，即为样本空间，而样本空间的子集合族就是M，M满足我们定义的性质，既包含整个样本空间为元素，XM就是一个可测空间，我们为了方便，把测度定义为元素发生的概率，那么测度的范围是0-1，并且满足不相交的集合可数可加，XM就是一个测度空间，而如果我们把测度定义为元素发生概率的两倍，那么我们可以发现仍然满足要求，仍旧是一个测度空间，可以看出来测度可以根据我们的方便来进行定义，可测性则要在体系中进行判断。我们经常说的n维欧式空间nR就是一个比较典型的测度空间。其定义如下：对于实数集合R的n重笛卡尔集RRRRn，定义RRRnn:如下：对于任意的1212(,,,),(,,,)nnnxxxxyyyyR，令niiiyxyx12)(),(，容易验证是nR的一个度量，因此偶对),(nR是一个度量空间。这个度量空间特别地称为n维欧氏空间。这里定义的度量称为nR的通常度量，并且常常略而不写，而称nR为n维欧氏空间。2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面。测度空间不一定都是连续的，也存在离散的度量空间，设(),X是一个度量空间．称(),X是离散的，或者称是X的一个离散度量，下面就举一个很简单的度量空间：如果对于Xx，存在一个实数0x使得对于任何)(,xyXy，都有xyx),(.例如我们假定X是一个集合，定义使得对于任何Xyx,，有：.,0;,1),(yxyxyx，容易验证是X的一个离散度量。因此度量空间(),X是离散的。离散的度量空间其性质可能很简单。3.赋范线性空间及其性质接下来来了解范数的概念：当一个空间X中的每一个元素x对应着一个非负实数x‖‖，并且这个非负实数满足：（1）当且仅当x为0的时候x‖‖为0，（2）满足三角不等式定理，即xyxy‖‖‖‖‖‖，（3）当为纯量的时候xx。那么我们称x‖‖为一个范数，当然，可以进行扩充一下，把（3）改成一下的几个条件：（a）xx‖‖‖‖（b）0x‖‖0xlimx‖‖=0（c）0lim0nxx我们可以认为其性质和范数很相近，称之为拟范数。由此定义可以看出我们通常使用的距离可以看做一个范数，而范数的定义则要比距离大得多。这个复向量空间X称为(拟)赋范线性空间。接下来我们了解一下（拟）赋范线性空间的一些比较重要的性质。我们定义完了赋范线性空间X（，‖‖），我们对于xyX，，定义xyxy（，）‖‖，根据上面对测度的定义不难看得出来，xy（，）是满足测度的3个要求的,这时我们可以称测度xy（，）是由范数‖·‖引导出来的。我们对赋范线性空间如此引入度量，使得这个空间成为一个度量空间，这样，我们便在空间引入的极限的意义。极限如下：首先，我们在（拟）范线性空间X上定义一个距离像刚才那样引入测度一样，即距离dxyxy（）‖‖，其中如果有nlim,ndxx（）=nlimnxx‖‖=0那么我们称nx收敛于x。这里我们知道了范数的定义，也了解范数是我们用来对空间距离进行度量的一种方式，范数也有很多的不同，我们可以根据我们所需要来进行定义范数。但是在度量的过程中，选择不同的范数可能得到不一样的结果，也有共同的性质。拿对矩阵范数的分析来讲，矩阵是一个有限维的描述，我们使用的范数可以是1-范数、2-范数乃至无穷范数，但是对矩阵范数的分析中，我们可以发现不管选用什么样的范数，它的收敛方式都是一样的，这就是一种共性。当然，这个共性可能在其他的分析中就不成立，但是我们针对不一样的体系可以进行相应的分析，来获得其特性，并可以进行研究。4.Banach空间及其性质赋范线性空间定义了空间的距离，即我们上面所说的范数，可以看做是我们所说的欧几里得空间的拓展。完备的线性赋范性空间就是Banach空间，完备的定义我们来讲一下。我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。若,,XM（）是度量空间，{nx}是M中的点列，如果对＞0,存在N（）＞0,当m，n≥N（）时，恒有mnxx（，）＜，那么我们就称作{nx}为基本点列，也称作柯西点列。度量空间X中的任何一个Cauchy点列{}nx都是收敛的，那么我们就说度量空间X称为完备的，那么称,,XM（）是完备的度量空间。空间的完备性条件如下：设1)(nnxf及fx分别是MX中的点列和点，则点列1)(nnxf收敛于fx的充要条件是函数列1)(nnxf依测度收敛于fx。证明：充分性：若1nnf依测度收敛于f，则对任何的0，有([()()])0.()nmXfxfxn。对任意给定的正数(不妨设m(X)2),取2)(20xm，则2)(1xm。对于这个，由1nnf依测度收敛于f，存在自然数N,使Nn时，2]))()([(xfxfXmn。所以，22)(1])[()()(1)()()()(1)()()()(1)()(),(][][xmffXmdxxfxfxfxfdxxfxfxfxfdxxfxfxfxfffdnffXnnffXnnXnnnnn即)..(0),(nffdn必要性：若)..(0),(nffdn对任何的0，由于)()(1)()(1xfxfxfxfnn,故][),()()(1)()(])[(1ffXnnnnnffddxxfxfxfxfffXm，且1)()(1)()(xfxfxfxfnn，由此可知0])[(limffXmnn。即1nnf依测度收敛于f。可见，可测函数空间XMd中,只要每一个Cauchy函数列1nnf依测度收敛于f，则这样的空间就是完备的。由定义易知X中的收敛点列是Cauchy列。X中的Cauchy列若有子列收敛，则Cauchy列也收敛。根据定义我们可以来证明欧式空间是完备的。设(){}kx是nR中任一Cauchy列，则对0，存在自然数N，当12,kkN时，有12()()(,)kkxx，于是，对每个坐标所形成的数列()()()()()12{}((,,,))(1)kkkkkinxxxxxin,1212()()()()||(,)kkkkiixxxx这说明(){}kix是Cauchy列，因此，存在实数ix，满足()()kiixxk，记作12(,,,)nxxxx，则nxR。这样有()()kxxk。完备的赋范线性空间为Banach空间，根据定义我们不难证明n维欧几里得空间nR中范数按照1221nixix，x=（1x，2x，…，nx）nR，定义范数的时候是Banach空间。C,ab