现代控制工程-第四章线性系统的可控性和可观性.

第四章线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和能可观性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。卡尔曼“输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性4-1问题的提出4.2线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义)(tu],[0ftt)(0tx)(ftx段连续的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。BuAxx对于线性定常系统，如果存在一个分关于可控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。nPPP,,,21)(tuPP3P1P2PnP40x1x2可控状态的图形说明（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点，而终端状态也规定为状态空间中的任意点，这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：)(0tx)(ftx①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态转移到零状态，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。BuAxx)(tu],[0ftt)(0tx)(ftx0)(0tx②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。BuAxx)(tu],[0ftt)(0tx)(ftx对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。二、可控性的判别准则BuAxx对于n阶线性定常系统，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A、B构成的可控性判别矩阵][12BABAABBQnc满秩，即nrankQc其中，n为该系统的维数。定理4.1：（可控性秩判据）【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。uxx011012（1）uxx100110110010011（4）uxx100110（3）uxx111001（2）0021][ABBQcnrankQc11111][ABBQcnrankQc10110][ABBQcnrankQc2121110010101121110][2BAABBQcnrankQc2解：（1）（3）（2）（4），，，，∴系统不可控。，，，，∴系统可控。∴系统不可控。∴系统不可控。BuAxx定理4.2：设线性定常系统，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型uBxxn001中，阵不存在全零行。B非奇异线性变换的不变特性：（1）线性变换后，可控性不变；（2）线性变换后，可观性不变。xPx例1：判别下列状态方程的可控性。（1）uxx752100050007（2）uxx750100050007（3）uxx570410100050007（4）uxx570010100050007解：（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。（3）系统可控。（4）系统不可控。【例4.2.2】判别下列状态方程的可控性。uxx111200020002421421421][2BAABBQc31crankQ，∴系统不可控。解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵中含有相同元素时，上述判据不适用。应根据定理4.1的秩判据来判断。BuAxx定理4.3：uBxxn001若线性定常系统，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型中，每个约当小块最后一行所对应的阵中的各行元素不全为零。(1,2,,)iJikB【例4.2.3】判别下列状态方程的可控性。（1）（2）（3）uxx204014uxx024014uxx020010003013004014（4）（5）（6）uxx100200103013004014uxx010300020012uxx110200020012（1）系统是可控的。（2）系统是不可控的。（3）系统是可控的。（4）系统是不可控的。（5）系统是不可控的。（6）系统不可控（注意定理4.3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。421421410][2BAABBQc32crankQ解：，∴系统不可控。关于定理4.3的小结：（1）输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行。（2）阵中与互异特征值所对应的行不存在全零行。（3）当A阵的相同特征值分布在阵的两个或更多的约当块时，如，以上判据不适用，可根据定理4.1秩判据来判别。BA1111B4.3线性定常离散系统的可控性一、离散系统的可控性定义对于n阶线性定常离散系统，若存在控制作用序列，在有限时间间隔内，能使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。)()()1(kHukGxkx)1(,),1(),0(nuuu],0[nTt)0(x0)(nTx【例4.3.1】设离散系统的状态方程为)(100)(101201111)1(kukxkx试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。),1(),0(uuTx]112[)0(解：利用递推法0k)0()0()1(huGxx)0(100300)0(100112101201111uu为检验该系统能否在第一步由转移到零状态，对上式令，若能够解出，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为。为此，令，则有，即)0(x0)1(x)0(u)0(u0)1(x03)0(u3)0(uTx]112[)0(表明对该系统若取，能将在第一步上转移到零状态。3)0(u【例4.3.2】设离散系统的状态方程为)(100)(101201111)1(kukxkx试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。),1(),0(uu(0)[111]Tx解：利用递推法0k)0()0()1(huGxx)0(100211)0(100111101201111uu0)1(x)0(u显然，若令，该方程解不出，这说明对于该系统不能在第一步由初始状态转移到零状态，须再递推一步。1k)1()1()2(huGxx)1()0()0(2huGhuxG)1(100)0(121330uu若令，该线性方程解对、无解，说明该系统不能在第二步由初始状态转移到零状态，还须递推一步。0)2(x)0(u)1(u2k)2()2()3(huGxx)2()1()0()0(23huGhuhuGxG)2(100)1(121)0(212360uuu若令，上式便是一个含有三个未知量的齐次方程0)3(x360)2()1()0(112021012uuu解此齐次方程，有Tuuu5951256360112021012)2()1()0(1就是说，该系统在的控制作用下，能在第三步上由初始状态转移到零状态。)2(),1(),0(uuuTx]111[)0(定理4.4：（线性定常离散系统可控性秩判据）线性定常离散系统，其状态完全可控的充分必要条件是：由G、H构成的可控性判别矩阵)()()1(kHukGxkx][12HGHGGHHQncnrankQc满秩，即【例4.3.3】设离散系统的状态方程为试判别其可控性。)(121)(011220001)1(kukxkx111222111][2HGGHHQcnrankQc1所以离散系统是不可控的。解：【例4.3.4】设离散系统的状态方程为试判别其可控性。)(001001)(301010121)1(kukxkx所以离散系统是可控的。解：240100101010402101][2HGGHHQcnrankQc3【例4.3.5】设离散系统的状态方程为)(101)(011220001)1(kukxkx试判别其可控性；若初始状态，确定使Tx]012[)0(0)3(x)2(),1(),0(uuu0)2(x的控制序列；研究使的可能性311220111][2HGGHHQcnrankQc30k)0()0()1(huGxx)0(101122u1k)1()0()0()2(2huGhuxGx)1(101)0(121062uu2k)2()1()0()0()3(23huGhuhuGxGx)2(101)1(121)0(3214122uuu解：所以离散系统是状态完全