现代控制理论控制系统的状态空间模型

2019/12/221ModernControlTheory第一章控制系统的状态空间模型2019/12/222本章内容提纲1.1状态空间模型1.2传递函数和状态空间模型间的转换1.3状态空间模型的性质2019/12/2231.1状态空间模型是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制理论的基础.不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而且还可以描述系统的内部特性.2019/12/2241.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式系统描述方法外部描述：(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。2019/12/2251.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式系统描述方法内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。2019/12/2261.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式外部描述：高阶微分方程)()()()()()()1(1)(0)1(1)(tubtubtubtyatyatymmmnnn传递函数：零初始条件nnnmmmasasbsbsbsG11110)(2019/12/227例：设有如图所示的R-L-C网络，试求其数学描述。解：可以得到三种形式的数学描述。列写该回路的微分方程：uuRidtdiLidtuCccd图R-L-C网络1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/228消去中间变量：传函表示形式：uudtduRCdtudLCccc211)()(2RCSLCSsUsUc图R-L-C网络()it1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式外部描述2019/12/229LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduCuuRidtdiLidtuCccd一阶微分方程表示形式：111cccdiRiiuudtLLLduuidtc1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式图R-L-C网络2019/12/2210LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。向量矩阵表示形式：1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/221121xxx设：)(1tix)(2tuxC01Lb10C011CL-LR-AxAxbCxuy则可以写成状态空间表达式：1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式内部描述2019/12/2212状态:完全描述系统时域行为的一个最小变量组。“完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输入的时间函数，那么系统在t≥t0的任何瞬时的行为就完全确定了。“最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。状态变量:最小变量组中的每一个变量。状态空间法的基本概念1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/2213说明：状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选择易测量的量。状态变量选择方法：(1)系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电感电流(2)系统输出及其各阶导数(3)使系统的状态方程成为某种标准形式1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/2214状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。状态向量:用状态变量作为分量构成的向量。12()[(),(),,()]Tnxtxtxtxt状态方程：],),(),([)(ttutxftx]),(),([)(1kkkkttutxftx输出方程：]),(),([)(ttutxgty]),(),([)(kkkkttutxgty1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/22151.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式()()()()()()()()()()xtAtxtBtutytCtxtDtut线性时变系统线性定常系统xAxBuyCxDu(1)()()()()()xkGxkHukykCxkDuk线性离散系统2019/12/2216式中：12nxxxxn维状态矢量uAxxbuxydc1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA系统矩阵，n×n矩阵。单输入单输出系统状态空间模型2019/12/221712nbbbb输入矩阵，n×1列矩阵。d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。12ncccc，，，1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式输出矩阵，1×n行矩阵uAxxbuxydc单输入单输出系统状态空间模型2019/12/22181.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式),,()(),,(tuxgtytuxfx1()(,,)()(,,)kkkkxtfxutytgxut非线性系统输入引起状态的变化是一动态过程，必须用微分(差分)方程来描述。AnnBnmCpnDpm：维系统矩阵：维输入矩阵：维输出矩阵：维直接输入矩阵2019/12/2219基本元件积分器xxKxKx比例器1x21xx2x加法器状态空间模型的图示法1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式注:负反馈时为－注：有几个状态变量，就建几个积分器xxabu一阶线性系统buaxx2019/12/2220系统矩阵n×n方阵输出矩阵m×n维输入矩阵n×r维+∫A++BuCyD+xxAxBuCxDu传递矩阵m×r维状态向量n×1维输出向量m×1维输入向量r×1维状态变量图：1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式线性定常多变量系统DuCxyBuAxx2019/12/2221被控过程动力学描述输入变量执行部件被控对象测量部件状态变量输出变量nxx1nyy1u1ur1.1状态空间模型1.1.1状态空间模型表达式2019/12/2222•步骤：根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；选择有关的物理量作为状态变量；导出状态空间表达式。状态变量的选取原则:系统储能元件的输出;系统输出及其各阶导数;使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）;由系统机理建立状态空间描述1.1状态空间模型1.1.2实例2019/12/2223例：设有如图所示的机械系统，试求其数学描述。---弹性系数阻尼系数位移解：根据牛顿力学原理：()utmybyky则动态方程：1xy2xy1221211()1()xxkbxyyyutmmmkbxxutmmmyx1.1状态空间模型1.1.2实例令2019/12/2224---弹性系数阻尼系数位移()utmybyky1xy2xy向量矩阵表示形式：1111222010,10kbmmmxxxuyxxx1.1状态空间模型1.1.2实例令2019/12/22251.1状态空间模型1.1.2实例例试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间描述。21,MM21,yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,,,vyxvyxyxyx2019/12/222611yk11yM11yB)(122yyB22yM)(122yykf1M2M质量块受力图如下：则有：)()(122122111111yyByykykyByM及：22221221()()MyByykyyf1.1状态空间模型1.1.2实例1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf2019/12/2227所选的状态变量:2241132211,,,vyxvyxyxyx2211xyxy输出方程：fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：1.1状态空间模型1.1.2实例)()(122122111111yyByykykyByMfyykyyByM)()(122122222019/12/2228写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX22222121212112121100001000010010000100YX1.1状态空间模型1.1.2实例2019/12/2229uLcu2R1RLi例系统如图所示，求状态空间表达式。1.1状态空间模型1.1.2实例2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudiiuLCdtRdt电路方程：2019/12/2230整理得：1211212()CLLudiiRRRudtLLRRLRR112121CLcduRiudtCRRCRR1.1状态空间模型1.1.2实例12,LCxixu选择状态变量：2019/12/2231状态方程为：11212112121()CudxRRRxxdtLRRRRLL211212121dxRxxdtCRRCRR输出方程为：2Cyux1.1状态空间模型1.1.2实例2019/12/2232写成矩阵形式1211112122212121110()()RRRxxLRRLRRLuRxxCRRCRR1201xyx1.1状态空间模型1.1.2实例2019/12/2233一长度为l，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。例：倒立摆系统Muxlm用小车的位移和速度及摆杆偏离垂线的角度和角速度来描述系统的动态特性1.1状态空间模型1.1.2实例2019/12/2234sin:xl在水平方向，利用牛顿第二定律，得到2222(sin)dxdMmxludtdt在垂直方向，利用惯性力矩与重力矩平衡，得到22(sin)cossindmxllmgldtMuxlmx：小车的水平位移1.1状态空间模型1.1.2实例方程摆心瞬时位置2019/12/22352222(sin)dxdMmxludtdt2()cossinMmxmlmlu22(sin)cossindmxllmgldt