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1.1状态变量及状态空间表达式1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二)1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.6从状态空间表达式求传递函数阵1.7离散时间系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.1.1状态变量状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥t0时刻的行为。1.1.2状态矢量如果个状态变量用表示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态矢量，记作：1.1.3状态方程以状态变量为坐标轴所构成的维空间，称为状态空间。1.1.4状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。用图下所示的网络，说明如何用状态变量描述这一系统。图一根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：亦即（1）式(1)就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号，表示，即令并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：或1.1.5输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图1.1系统中，指定作为输出，输出一般用y表示，则有：式中(2)式（3）就是图1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：或（3）式中或（4）1.1.6状态空间表达式在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以作输出时，从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：其相应的传递函数为：（6）（5）回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选和作为两个状态变量，即令则得一阶微分方程组为：（8）设单输入一单输出定常系统，其状态变量为则状态方程的一般形式为：输出方程式则有如下形式：用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：式中，x和A为同单输入系统，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵；为r维输入(或控制)矢量；为m维输出矢量；（9）（10）为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0。1.1.7状态空间表达式的系统框图和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于式(9)和式(10)所描述的系统，它们的框图分别如图a和b所示。1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。对于一阶标量微分方程：它的模拟结构图示于下图再以三阶微分方程为例：将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成它的模拟结构图示于下图同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。1.3状态变量及状态空间表达式的建立(一)这个表达式一般可以从三个途径求得：一是由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式该法是首先将系统的各个环节，变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量其输入便是相应的然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。1.3.2从系统的机理出发建立状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。1.4状态变量及状态空间表达式的建立(二)考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个阶线性常系数微分方程：相应的传递函数为1.4.1传递函数中没有零点时的实现在这种情况下，系统的微分方程为：相应的系统传递函数为上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图(下图)导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。从图（a），容易列出系统的状态方程：输出方程为：表示成矩阵形式，则为：顺便指出，当矩阵具有式上矩阵的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。1.4.2传递函数中有零点时的实现此时，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：设待实现的系统传递函数为：因为上式可变换为（26）令则对上式求拉氏反变换，可得：每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空问表达式：或表示为：推广到阶系统，式(26)的实现可以为：（28）求得其对应的传递函数为：（29）为求得令式（29）与式（26）相等，通过对多项式系数的比较得：故得：（30）也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。（31）将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的状态空间表达式：即（32）扩展到阶系统，其状态空间表达式为：（33）式中（34）或记为：1.4.3多输入一多输出系统微分方程的实现一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：（35）同单输入一单输出系统一样，式(35)系统的实现也是非唯一的。现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：故得模拟结构图，如下图所示：取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（35）的一种实现为：或表示为：（36）1.5状态矢量的线性变换(坐标变换)1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。设给定系统为：（37）我们总可以找到任意一个非奇异矩阵将原状态矢量作线性变换，得到另一状态矢量设变换关系为：即代入式（37），得到新的状态空间表达式：（38）1.5.2系统特征值的不变性及系统的不变量1.系统特征值系统系统特征值就是系统矩阵的特征值，也即特征方程：（43）的根。方阵A且有n个特征值；实际物理系统中，为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如为实对称方阵，则其特征值都是实数。2．系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变换后，得：其特征方程为：（44）式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：将特征方程写成多项式形式由于特征值全由特征多项式的系数唯一确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系统也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。3．特征矢量一个维矢量：经过以作为变换阵的变换，得到一个新的矢量即如果此即矢量，经线性变换后，方向不变，仅长度变化倍则称为的对应于的特征矢量，此时有1.5.3状态空间表达式变换为约旦标准型这里的问题是将(45)变换为：(46)根据系统矩阵求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵无重根时有重根时而欲得到变换的控制矩阵和输出矩阵CT，则必须求出变换矩阵T。下面根据A阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T的方法。1.A阵为任意形式(1)A阵的特征值无重根时设是A的个互异特征根，求出A。的特征矢量则变换矩阵由A的特征矢量构成，即2．A阵为标准型，即(1)A的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为：(2)A特征值有重根时，以有的三重根为例：(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即3．系统的并联型实现此时已知系统传递函数：（55）现将式(55)展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均是互异的，一是有重根。1.6从状态空间表达式求传递函数阵1.6.1传递函数(阵)1．单输入一单输出系统已知系统的状态空间表达式：式中，为维状态矢量；和为输出和输入，它们都是标量；A为方阵;为列阵；c为行阵；d为标量，一般为零。（62）对式(62)进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有：（63）故U—X间的传递函数为：（64）它是一个的列阵函数。间的传递函数为：它是一个标量。2．多输入一多输出系统已知系统的状态空间表达式：（66）式中，为r×1输入列矢量；为m×1输出列矢量；B为n×r控制矩阵；C为m×n输出矩阵；D为m×r直接传递阵；X，A为同单变量系统。同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：（67）故间的传递函数为（68）它是一个n×r矩阵函数。故间的传递函数为：它是一个m×r矩阵函数，即（69）其中各元素都是标量函数，它表征第个输入对第个输出的传递关系。当时，意味着不同标号的插入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。式(69)还可以表示为：可以看出，的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，的分子是一个多项式矩阵。应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的c对于已知系统如式(66)，其传递函数阵为式(69)。当做坐标变换，即令时，则该系统的状态空间表达式为：（71）那么对应上式的传递函数阵应为：即同一系统，其传递函数阵是唯一的。1.6.2子系统在各种连接时的传递函数阵实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反馈连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。设系统1为：（72）简记为：设系统2为：简记为：1．并联连接所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如下图所示。由式(72)和式(73)，并考虑得系统的状态空间表达式：从而系统的传递函数阵为：故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。2．串联连接串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。3．具有输出反馈的系统如下图所示，由图可得：即从而系统的传递函数阵为：这里又遇到分块求逆的问题，假定：故有：从而得：由上两式解得：即于是：所以有：同理也可求得：1.7离散时间系统的状态空间表达式连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。类似在连续系统中，从微分方程或传递函数建立状态空间表达式，叫系统的实现。在离散系统中，从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式，也是一种实现。相应地，系统传递函数为：(78)设系统差分方程为：(77)实现的任务就是确定一种状态空间表达式：(79)在认为两相邻采样时刻，不变的条件下，式(79)的状态空间表达式也可以用模拟结构图(下图)表示。下图中T代表单位延迟器，类似于连续系统中的积分器。实现是非唯一的，较简单的实现见下图所示的模拟结构图。图中为已知参数，为待定常数。以每个延迟器的输出作为一个状态变量，可得：矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：式中的求法，类似于1.4节中式(34)求的计算公式，即：多变量离散状态空间表达式为：1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.8.1线性时变系统以上讨论的只是定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、D等矩阵的元素既不依赖于输入、输出，也与时间无关。线性时变系统有：它们的元素有些或全部是时间t的函数。线性时变系统的状态空间表达式为：（81）从高阶线性时变微分方程推演出状态空间表达式的方法，类似于前述线性定常系统。1.8.2非线性系统非线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的：用矢量矩阵表示，则为：（83）式中，为矢量函数；为的元素。如果式