现代控制理论第二章1.

第二章线性系统的运动分析建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。•定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。•定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性能观性稳定性本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。•根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。•状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。•本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。本章简介本章讨论线性系统的运动分析。•主要介绍连续系统与离散系统的状态空间模型的求解状态转移矩阵的性质和计算连续系统状态方程的离散化线性定常系统的运动1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：),(BA0u)0(|)(,0xtxAxxtx2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt非齐次状态方程的解：),(BAux2.1线性定常连续时间系统的运动分析2.1线性定常连续时间系统的运动分析•线性系统的运动可分解为以下两个响应的叠加–系统的零输入响应–系统的零初态响应utBxtAx)()(utBxtAx)()(utBxtAx)()(ux0响应＝＋u=0x0ux0=0零输入响应零状态响应线性系统的运动分解xtAx)(00)(xtx•下面,将依次分别讨论:齐次状态方程的解线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统非齐次状态方程的解2.1.1线性定常齐次状态方程的解齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x’=Ax•在满足初始状态00()()ttttxx的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法拉氏变换法1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。•该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。•因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。)()(taxtxkktqtqtqqtx2210)(•将所设解代入该微分方程,可得•如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)•因此,x(t)的解表达式可写为)(32221012321kkkktqtqtqqatkqtqtqq21021010,,,1!22!!kkkaaaaaqqqqqqqqkk)0(e)0(...!...!21)(22xxtkataattxatkk上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。•为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。•将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)•如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得21021010,,,1!22!!kkkAAAAAkkqqqqqqqq•若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0•因此,状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为220()......2!!kkAAtIAtttkxx...!...!222kkAttkAtAAtIe•利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0满足初始状态的解是：00)(,)()(0tttxetxttA)(|)(00txtxtt结论：系统的零输入响应（齐次状态方程的解）Axx满足初始状态的解是：)0(|)(0xtxt0,)0()(txetxAt满足初始状态的解是：00)(,)()(0tttxetxttA)(|)(00txtxttAte——矩阵指数函数2．拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)•齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0•对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0•下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有2112322111()......1......[()]2!!kkkkataaasassssatatatLsake•将上述关系式推广到矩阵函数则有...!...!2......)(2213221ktAtAAtIsAsAsAsIAsIkkAtkke其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有AtkkkkktAtAAtIsAsAsAsILAsILe...!...!2......])[(221322111因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0=eAtx0•上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。•若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:0()0()e()Attttxx状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数和初始状态x(t0)所决定。)(0ettA为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt•因此,有如下关系式x(t)=(t)x0或x(t)=(t-t0)x(t0)•由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1[(sI-A)-1]齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的。当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。)0(x)(1tx)0(1t)(2tx)(12ttt1x2x01t2t2.1.2线性定常连续系统的状态转移矩阵讨论引入的状态转移矩阵,主要内容为:•基本定义•矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质1、状态转移矩阵的定义线性定常系统的齐次状态方程：Axx满足初始状态的解是：)0(|)(0xtxt)0()(xetxAt满足初始状态的解是：)()(0)(0txetxttA)(|)(00txtxtt已知：线性定常系统的状态转移矩阵)()(0)(0ttetettAAt令：则有：)()()()0()()(00txtttxxttx2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵)1)Φ(0)=eA0=I2)eA(t+s)=eAteAs，Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s)（分解性）式中t和s为两个独立的标量自变量证明由指数矩阵函数的展开式,有3)（可逆性）[Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2))(2222222...)(!...)2(!2)(...!...!2...!...!2stAkkkkkkAsAtstkAststAstAIskAsAAsItkAtAAtIeee)()(1)(211212eeettAttAttA4)对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立e(A+B)t=eAteBt5)（微分性和交换性）6)（倍时性）[Φ(t)]n=Φ(nt)7)（组合性）Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)eee,()()()dAtAtAtdAAtAttAt由状态转移矩阵的意义,有x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1)=Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)]=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移。t0t1t2t)()(0)(101tetttAxx)(0tx)()()(0)(1)(20212tetetttAttAxxx系统的状态转移图3、几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵1)对角线矩阵。当A为如下对角线矩阵:A=diag{12…n}则状态转移矩阵为式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。tttAtnte...eediage)(Φ21(2)块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵:A=block-diag{A1A2…Al}其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为式中，block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。tAtAtAAtlte...eediag-blocke)(Φ2121221!2!0nttttnttttttteteeenteteetnteeΦ则有（3）设A为约当阵，即()nn1010A(4)A若为则有：-AcossinsincosAtttteett4、状态转移矩阵的计算直接求解法：根据定义规范型法求解：对角线标准型和约当标准型待定系数法：凯莱－哈密顿定理拉氏反变换法4、状态转移矩阵的计算(1)级数求和法：按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：11AteLsIA...!...!222kkAttkAtAAtIe例1用Laplace变换法计算矩阵指数：0123A123ssIAs1311232ssIAsss31121221212ssssssssss解：12111121222121212AtsssseLssss则有：22222222tttttttteeeeeeee（3）规范形法上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约