现代控制理论第四章

第四章线性系统的能控性与能观性4.1定常离散系统的能控性4.2定常连续系统的能控性4.3定常系统的能观性4.4线性时变系统的能控性及能观性4.5能控性及能观性的对偶关系4.6线性定常系统的结构分解4.7能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.8能控标准形和能观标准形4.9系统的实现两个基础性概念：能控性与能观性两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题。在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。例4.0.1例4.0.2选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的。4.1定常离散系统的能控性4.1.1定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程)()()1(kBukAxkx(4.1.1)定义4.1.1对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程(1)()()xkAxkbuk(4.1.2)定理4.1.1单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[b,Ab,…,An-1b]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成rankUc=rank[b,Ab,…,An-1b]=n.(4.1.5))(101)(011220001)1(kukxkx例4.1.12111rankArank0223113bAbb满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。4.1.3多输入离散系统能控性的判定条件多输入线性定常离散系统的状态方程(1)()()xkAxkBuk(4.1.9)定理4.1.2多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.(4.1.10)…,多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。)()(100001)()()(110201121)1()1()1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例4.1.21011rankrank011230000BAB只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可4.2定常连续系统的能控性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程xAxBu(4.2.1)定义4.2.1对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。定理4.2.1系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵1CnUBABAB的秩为n，即1ranknBABABn4.2.2线性定常连续系统的能控性判据能控性判据的第一种形式1CrankranknUbAbAbn此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇异的。注如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则系统的状态完全能控性的判据为11122233121100100110300xxuxxuxx100100B121101201001011030010AB易知例4.2.1考察如下系统的能控性2121122401001011031042ABC101224010101001042U其秩为3，该系统能控从而11122233132210201101311xxuxxuxx2C213254112244112244UBABAB其秩为2，所以系统不能控例4.2.2判断线性定常系统注对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。定理4.2.2如果线性定常系统xAxBu的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，它的状态方程10ˆˆˆ0nxxBu其中，ˆB不包含元素全为0的行。能控性判据的第二种形式112233300201010020xxxxuxx状态变量x3不受控制例4.2.3此系统是不能控的11122233700010504000175xxuxxuxx此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。例4.2.4下列系统是能控的定理4.2.3若线性定常系统xAxBu的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形120000ˆˆˆ00kJJxxBuJ其中，ˆB矩阵中与每个约当块最后一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。4.2.3线性定常连续系统的输出能控性设系统的状态空间表达式为CxyBuAxx定义4.2.2如果在一个有限的区间[t0,t1]内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，则称系统是输出完全能控的。系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵21nCBCABCABCAb的秩为q例4.2.9判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。11221241123210xxuxxxyx秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。4221ABB120CBCAB秩为1，所以系统是状态不能控的。4.2.4利用Matlab判定系统能控性可以利用Matlab来进行系统能控性的判断。Matlab提供了各种矩阵运算和矩阵各种指标（如矩阵的秩等）的求解，而能控性的判断实际上就是一些矩阵的运算。Matlab中的求矩阵的秩是通过一个函数得到的，这个函数是rank(M)。01000001010001000502xxu1000yxA=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0];B=[0;1;0;-2];C=[1,0,0,0];D=0;Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)ans=401000300210001002000xxu1000yxA=[0,1,0,0;3,0,0,2;0,0,0,1;0,-2,0,0];B=[0;1;0;0];C=[1,0,0,0];D=0;Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)ans=34.3.1定常离散系统的能观性)()()()()1(kCxkykBukAxkx定义4.3.1对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，若能依据第i步及以后n-1步的输出观测值y(i),y(i+1),…,y(i+n-1)，唯一地确定出第i步上的状态x(i)，则称系统在第i步是能观测的。如果系统在任何i步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。考虑离散系统4.3线性时变系统的能控性及能观性定理4.3.1对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵1nCACAC的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为ＵO。O1rankranknCCAUnCA例4.3.3判断下列系统的能观测性1012(1)021()1()3.021010()xkxkukyxk010C2021,340CACA于是系统的能观测性矩阵为O1010021340nCUCACA秩为3，所以系统能观。例4.3.4系统状态方程仍如上例，而观测方程为001()()100ykxkO2001100302101901203CUCACA秩小于3，所以系统不能观。4.3.2定常连续系统的能观性xAxBuyCx定义4.3.2对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。定理4.3.2线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵O1nCCAUCA的秩为n。能观性判据的第一种形式例4.3.5判断下列系统的能观性。1122211131xxuxx11221010yxyx12120101CAC秩等于2，所以系统是能观测的。能观性判据的第二种形式定理4.3.3若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式120000ˆ00ˆˆnxxyCx其中，矩阵Cˆ不包含元素全为零的列。定理4.3.4设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成