现代数值分析.

教材(TextBook)现代数值分析蔺小林、蒋耀林编著（国防工业出版社）参考书目(Reference)NumericalAnalysis:MathematicsofScientificComputing(ThirdEdition)数值分析（英文版第3版）DavidKincaid&WardCheney（机械工业出版社)NumericalAnalysis(SeventhEdition)数值分析（第七版影印版）RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）工程数值分析王立秋等编著（山东大学出版社）工程数值分析题解学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系Introduction研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等数值分析能够做什么？一、计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算现代数值分析是一门内容丰富、研究方法深刻、实用性较强的数学课程。研究对象：从科学与工程问题中抽象归纳出来的数学问题。通信卫星覆盖地球面积数学模型实际问题获取数据数值方法、程序数据结果将地球考虑成一个球体,设R为地球半径,h为卫星高度,D为覆盖面在平面的投影DdxdyyxRR222举例1。求下列方程的根或零点：22sin10xxx（第四章的内容：非线性方程的数值解法）Canyousolve：100(1)0xCanyousolve：100999897961004950161700392122510010xxxxxx2。怎么求解下列积分？210xedx（第八章的内容：数值积分）三种常用的技术:（1）求未知数据的迭代计算技术（2）连续模型离散化处理技术（3）离散数据的连续化处理技术Def:(算法)为了用计算机解决数学问题而构造的能够用数值计算的实施方法。即把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并有确定运算次序的完整而准确的描述。算法的特点：构造性能够通过数值演算一种实施方法算法的可用性（算法的稳定性）：理论上很完美的算法，在计算机上未必可用。例1：Gramer法则解线性方程组：n阶方程组需计算n+1个行列式的值，每一个行列式的值需次乘法，共需次乘法。(1)!nn(1)(1)!nnn例2：如建立10(0,1,2,,8)5nnxIdxnx的递推公式并作实际计算。解:(1)易知11111005155nnnnnxxIIdxxdxxn所以115(1,2,,8)nnIInn(方法不可用)(2)因为111111556,5nnnnnnnnIIIIIIIIn又11165nInn当n=9时，有8115445I取8111()0.020425445I11(8,7,,1)55nnIInn算法的优劣：评价标准：(1)计算量的大小例：计算1011()nnnnnPxaxaxaxa直接计算：需n(n+1)/2次乘法和n次加法。迭代计算：0121(){[()]}nnnPxaxaxaxaxa按下列迭代公式计算001,1,2,,()kkknnuauxuaknPxu只需n次乘法和n次加法。(2)存储量的多少(3)逻辑结构是否简单二、数值分析的特点1.近似：由此产生“误差”在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？原点附近1101101101在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵，但在计算数学中，它却是降秩矩阵。？112111010101100101100101100nnn2.与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）1.2误差(Error)§1误差的背景介绍(Introduction)1.来源与分类(Source&Classification)模型误差(ModelingError):从实际问题中抽象出数学模型观测误差(MeasurementError):通过测量得到模型中参数的值方法误差(截断误差TruncationError）:求近似解。求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差舍入误差(RoundoffError):机器字长有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差.§1.2.4误差与有效数字(ErrorandSignificantDigits)绝对误差(absoluteerror)*()exxx其中x*为精确值，x为x*的近似值。10006074302..dxex例如：*xxε工程上常记为|()|exε的上限记为,称为绝对误差限(accuracy)相对误差(relativeerror)*()()rexexx称εr(x)为相对误差限。由于精确值x*一般是未知的如果存在一个适当小的正数εr，使得rrxxxxxexe)()(()||rεεxxx的相对误差限常定义为有效数字（significantdigits）用科学计数法，记(其中）若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。12010mnx.aaa01anm.xx1050||*naxnm103.1415926535897932;*3.1415例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。*131403141510and*05100510*π*.,|ππ|..证明:有4位有效数字,精确到小数点后第3位.有效数字和相对误差的关系Th1.若近似数x有n位有效数值，则其相对误差限为(1)11|()|102nrexa反之，若x的相对误差限满足：则x至少有n位有效数字。(1)11|()|102(1)nrexa证：记则所以121210(101010)mnnxaaa111110||(1)10mmaxa*1(1)211110||1|()|10||102mnnrmxxexxaa反之易得。注：定理表明，有效数字的位数越多，相对误差越小1.一元函数y=f(x)误差分析(准确值y*=f(x*))由Taylor公式)(2)*()()*()(*)(2fxxxfxxxfxf)(|)(||)(||*||*||)(|xxfxfxxyyye)(|)()(|)(xxfxfxyrr同理:)(|)(|)(xxfy所以反问题:估计)(xr2.多元函数z=f(x1,x2,···,xn)误差分析nkkkxxfz1)(||)()()()(2121xxxx(1)22122121)(||)(||)/(xxxxxxx(3))(||)(||)(122121xxxxxx(2)数据误差对算术运算影响例.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效数937.7636381x解:直接计算x1≈8–7.937=0.0630005.0)937.7()8()(1x计算出的x1具有两位有效数字修改算法062747093715163811..x000005093715000509371593715221.).(.).().()(x4位有效数例2.圆面积计算的误差估计2RS圆面积计算公式:全微分近似:RRS2)(2)(RRS)(2)(RSrr取r=50cm,则有cm5.0)(R≈2×1%=2%)(Sr)(S≈150cm2,反问题:估计)(),(RRr数值计算中的基本原则(1)避免绝对值小的数做除数;(2)避免两相近数相减;(3)防止大数“吃”小数现象a=109，b=9，设想在8位浮点数系中相加a+b=1.0000000×109+0.000000009×109由于只保留8位有效数，数据09被舍去,实际加法操作a+b计算结果是将a的数据作为计算结果赋值给a+b.(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)例计算P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4的值P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))一个应用:2进制数转换为10进制数(11101110)2=27+26+25+0+23+22+2+0=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=238求多项式值的秦九韶算法输入x；a0，a1，…，anS←a0；u←1k从1到n循环u←x×uS←S+ak×u输出数据S；结束输入x；a0，a1，…，anS←ank从n到1循环S←ak－1+x×S输出数据S；结束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn注：初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不稳定算法。初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算法称为数值稳定算法。注：在算法执行过程中,舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳定算法.