2019年北京市高考数学试卷(文科)

第1页，共15页2019年北京市高考数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|x＞1}，则A∪B=（）A.(−1,1)B.(1,2)C.(−1,+∞)D.(1,+∞)2.已知复数z=2+i，则z•𝑧−=（）A.√3B.√5C.3D.53.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A.𝑦=𝑥12B.𝑦=2−𝑥C.𝑦=log12𝑥D.𝑦=1𝑥4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.45.已知双曲线𝑥2𝑎2-y2=1（a＞0）的离心率是√5，则a=（）A.√6B.4C.2D.126.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lg𝐸1𝐸2，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.18.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A.4𝛽+4cos𝛽B.4𝛽+4sin𝛽C.2𝛽+2cos𝛽D.2𝛽+2sin𝛽第2页，共15页二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量𝑎⃗⃗=（-4，3），𝑏⃗=（6，m），且𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，则m=______．10.若x，y满足{𝑥≤2，𝑦≥−1，4𝑥−3𝑦+1≥0，则y-x的最小值为______，最大值为______．11.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为______．12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为______．13.已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．第3页，共15页16.设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．第4页，共15页19.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|=2，求证：直线l经过定点．20.已知函数f（x）=14x3-x2+x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．第5页，共15页答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|x＞1}，∴A∪B={x|-1＜x＜2}∪{x|x＞1}=（-1，+∞）．故选：C．直接由并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础的计算题．2.【答案】D【解析】解：∵z=2+i，∴z•=．故选：D．直接由求解．本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性．4.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，s=1s=2不满足条件k≥3，执行循环体，k=2，s=2不满足条件k≥3，执行循环体，k=3，s=2此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．第6页，共15页故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由双曲线-y2=1（a＞0），得b2=1，又e=，得，即，解得，a=．故选：D．由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2=c2联立求得a值．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b=0”，∴函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．“b=0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b=0”，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】第7页，共15页解：设太阳的星等是m1=-26.7，天狼星的星等是m2=-1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．把已知熟记代入m2-m1=lg，化简后利用对数的运算性质求解．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO=2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB=2•2sinβ=4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4=4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ=4sinβ+2sin2β-•2•2sin2β=4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．9.【答案】8【解析】解：由向量=（-4，3），=（6，m），且⊥，得，∴m=8．故答案为：8．第8页，共15页⊥则，代入，，解方程即可．本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．10.【答案】-31【解析】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，-1），B（2，3），令z=y-x，作出直线y=x，由图可知，平移直线y=x，当直线z=y-x过A时，z有最小值为-3，过B时，z有最大值1．故答案为：-3，1．由约束条件作出可行域，令z=y-x，作出直线y=x，平移直线得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】（x-1）2+y2=4【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），第9页，共15页∵所求圆的圆心F，且与准线x=-1相切，∴圆的半径为2．则所求圆的方程为（x-1）2+y2=4．故答案为：（x-1）2+y2=4．由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．12.【答案】40【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V=．故答案为：40．由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m∥α【解析】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．由l，m是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，第10页，共15页则m∥α．本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】13015【解析】解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140（元），即有顾客需要支付140-10=130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）×80%≥m×70%，即有x≤，由题意可得m≥120，可得x≤=15，则x的最大值为15元．故答案为：130，15①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵a=3，b-c=2，cosB=-12．∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+(𝑏−2)2−2×3×(𝑏−2)×(−12)，∴b=7，∴c=b-2=5；（2）在△ABC中，∵cosB=-12，∴sinB=√32，由正弦定理有：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，∴sinA=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏=3×√327=3√314，∴sin（B+C）=sin（𝜋-A）=sinA=3√314．【解析】第11页，共15页（1）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）=sin（-A）=sinA，根据正弦定理可求出sinA．本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），∴（-2+2d）2=d（-4+3d），解得d=2，∴an=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12．（Ⅱ）由a