三角形内心充要条件的证明

博云制作QQ：418230691三角形内心充要条件的证明三角形内心充要条件的表述如下：在如下三角形ABC中，则O为ABC内心的充要条件是：0aOAbOBcOC图示1(r为内接圆半径)下面证明：充分性：充分性表述成，若O为ABC所在平面内的点，当满足条件：0aOAbOBcOC时，O即为ABC的内心。证明：欢迎访问我的博客()()0()0()()aOAbOBcOCaOAbOAABcOAACabcOAbABcACabcOAbABcAC11()()(|bcOABACAabcabcbcbcOABACAabccabcbbcBACAOAabccbbcBAOAabcBA这一步最为关键)|||CACA||BABA即为BA方向的单位向量，||CACA即为CA方向单位向量，所以||||BACABACA即为以BA和CA构成角的角平分线。(原因如下图所示：1||BAeBA，2||CAeCA，12eee，向量12ee即为以1e和2e为边构成的平行四边形的对角线，由于1e和2e为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12ee即e为以1e和2e构成角的角平分线)欢迎访问我的博客由上面的分析，我们可以得到：()(*)||||bcOAeabcBACAeBACA为常数,且即OA在A所在角平分线上，同理可证，OB、OC在在B和C所在角平分线上，即O为ABC内角平分线的交点，即为内心的定义，充分性的证明完毕。必要性：分析：由上面充分性的证明中的(*)表达式可知，只要由内心的定义证明常数bcabc即可。证明：图示3在图示3中，e的长度为：欢迎访问我的博客||2||cos2cos22AAee在图示1中，OA的长度为：||sin2rOAA将||OA用||e来表示，有：sin||2sin||2cos2||||(1)sinrAOArAAerOAeA由O为ABC的内心，则OA在A所在角平分线上，因此有：()()||||BACABACAOAecbBACA对上式两边取模长，并由(1)可得：|||()|||||||||sin||BACAOAeBACAOArAe由ABCAOCBOCAOBSSSS可得：欢迎访问我的博客()21112221()2sinABCAOCBOCAOBSbcASSSbrarcrabcrrbcAabc正弦定理即：()()||||BACAbcBACAOAabccbBACA按照前面充分性的证明过程逆推：()()()()bcBACAbcBOOACOOAOAabccbabccbbcBOOACOOAabcabcbcbcOABOCOOAabcabcabcbcbcOAOABOCOabcabcabcabcOABOCOabcabcabcaOAbBOcCO0aOAbOBcOC必要性证明完毕。