V跳过程引论(金融随机分析-南京理工大学,陈萍)

V跳过程引论教师:陈萍[e-mail]15.1Poission过程2计数过程定义称一个随机过程是一个计数过程(pointprocess),若N(t)满足:{(),0}Ntt1)N(t)取非负整数值；4）若st,则N(t)-N(s)等于区间(s,t]中“事件”发生的次数.35.1.1Poission过程的定义背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点:(1)零初值性：N（0）=0；(4)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的;(4)普通性:在非常短的时间区段Δt内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与Δt成正比.4定义5.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度)的Poission过程(或Poission流)，如果1）N(0)=0;2）具有独立增量性;3）满足增量平稳性;4）对于任意t0和充分小的，有其中为的高阶无穷小。λ又称为Poission过程的强度系数)0(0t)(]2)()([),(]1)()([totNttNPtottNttNP)(tot易见，Poission过程是一个Levy过程。5定理5.1.1若{N(t),t0}为Poission过程，则st(()()),!ktstsPNtNskekNk()()~NtNsPts利用定理5.1.1,可得到Poission过程的等价定义:即定义5.1.4计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度)λ的Poission过程，如果1）N(0)=0，4）具有独立增量性，3）,()()~stNtNsPts此即5.1.2到达时间间隔与到达时刻的分布1010inf:,(),1kkttNtkk6设{N(t),t0}为泊松过程，N(t)表示在[0,t]内事件发生的次数，令，表示第k个事件发生的时刻;表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即k001kkkT先讨论到达时间间隔的Tk分布.2341T2T3T7定理5.1.3到达时间间隔序列相互独立同分布，且服从参数为λ的指数分布.1,1,2,kkkTk定理5.1.3-5.1.4提供了Poisson过程的参数估计,假设检验及轨道模拟方法.定理5.1.4若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列是相互独立同参数为λ的指数分布，则{N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.---Poission过程的又一等价定义{,1}nTn要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验相邻两次跳跃间隔时间{Tn=tn–tn-1,n1}是否为指数分布总体的i.i.d样本.8参数λ的极大似然估计:一般地,若从0时刻开始,观察到Poisson过程{N(t),t0}的一段样本轨道:τ1,…,τn的取值:t1t2,…,tn,由于,τ1,τ2-τ1,…,τn-τn-1独立同指数分布,于是似然函数为nniiitnttnneettL01,...1令ln00dLdLordd得λ的极大似然估计为:nnt9定理5.1.5到达时间的概率密度函数为1(0)()().(1)!nntttftenn,n证明定理2.1.45提供了Poisson过程的参数λ的区间估计法:根据定理2.1.5,的概率密度函数为2n备查：1）的特征函数为()(1)nitt,n分布函数为：100()1!knxxkxFxek10取置信度为,则122122(2)2(2)1nPnn故置信度为的置信区间为122122(2)(2)[,]22nnnn0!2221)(22222tetntgtnnn这与的密度相同,即)2(2n22~(2)nn5.1.3鞅性质11定理5.1.5设N(t)是强度为λ的泊松过程，定义补偿泊松过程为()MtNtt则M(t)是鞅。5.2复合Poission过程()10NtiiQtYt12定义5.2.1设{N(t),t0}为强度为λPoission过程,{Yi,i1}是独立同分布的随机变量序列,且{Yi,i1}与{N(t),t0}独立,记称{Q(t),t0}为复合Poission过程(compoundpoissonprocesses).1Y2Y3Y4Y1321,varEQttQttEY(3)若,则定理5.2.1(1){Q(t),t0}是平稳独立增量过程;(2)其矩母函数为21[]EY1YtuuQtQtuEee注：如果{Yi,i1}并非随机，而是恒取常数y,则复合泊松过程为yN(t),并且。由此可知，常数y乘以泊松过程具有矩母函数(5.2.3)当y=1时对应泊松过程的矩母函数(5.2.4)uyYue1()uyteuyNtyNtuEee1()uteuNtNtuEee(5.2.2)(5.2.1)14考虑Yi仅取有限多个非零值{ym,m=1,…,M}的情形。假设p(ym)=P{Y=ym},m=1,…,M满足：对每个m，p(ym)0,并且，于是11Mmmpy1mMuyuYYmmuEepye(5.2.1)化为1112121(1)(1)(1)(1)1...MMuyuymmmmmmuyuyuyMMmmtpyepyteQtpytepytepyteMyNtiueeeeeu15定理5.2.2设{ym,m=1,…,M}是非零常数的有限集，{p(ym),m=1,…,M}是总和为1的正数。如果定义5.2.1中随机跳幅Yi的分布律为{p(ym),m=1,…,M}，并且截至时刻t,Q中幅度为ym的跳跃总数记作Nm(t),则对照(5.2.3),其中的是强度为的泊松过程。于是有如下“复合泊松过程的分解”定理：mNtmpy11()(),0MMmmmmmNtNtQtyNtt且其中过程N1(t),N2(t),…NM(t)是两两独立的泊松过程，每个Nm(t)具有强度λp(ym).p345.3跳过程及其积分16定理5.2.3设Q(t)是强度为λ的复合泊松过程，则补偿复合泊松过程是鞅。1()QttEY定义5.3.1设（,F,P)是概率空间，F(t),t0是该空间上的一个域流。称Brown运动B，泊松过程N或复合泊松过程Q是关于F(t)相关的,如果对每个t,B(t)，N(t)或Q(t)关于F(t)可测，且对所有ut,B(u)-B(t),N(u)-N(t),或Q(u)-Q(t)关于F(t)独立。5.3.1跳过程17我们希望定义随机积分0tsdXs其中0XtXItRtJt---跳过程连续部分：000(0)ttcXtXItRtXsdssdWsJ(t)--适应的右连续纯跳过程—右连续且在接连两次跳之间取常数值。如泊松过程或复合泊松过程。18XtXtXtJtJt记Φ关于X的积分定义为：0000tttstsdXsssdWsssdsJs写成微分形式为：ctdXttdXstdIttdRttdJtttdWttRtdttdJt(5.3.1)19例5.3.1设X(t)=M(t)=N(t)-λt,其中N(t)是强度为λ的泊松过程，设Ф(s)=ΔN(s),则000ttcsdXssds200()tstsdNsNsNt因此0()tsdXsNt注：与Ito积分不同，此积分结果不是鞅！20定理5.3.1假定(5.3.1)中的跳过程X(t)是鞅，被积式Ф(s)是左连续适应过程，并且2200tEssdst则随机积分也是鞅。0tsdXs证明参见严加安《随机分析选讲》。注：由于X(t)的右连续性，由(5.3.1)可见，0tsdXs关于积分上限t也是右连续的。21例5.3.2设M(t)=N(t)-λt,其中N(t)是强度为λ的泊松过程，设Ф(s)=I[0,S1](s),截至首次发生跳的时刻，Ф取值为1，之后Ф恒为0.注意到Ф是左连续的，我们有111101,01tsttSsdMsStSIttS可证，此积分结果是鞅。5.3.2二次变差22取010ntttT记011,,,,maxnjjjttttt定义1210njjjQXXtXtX的二次变差定义为：0,limXXTQX两个跳过程X1与X2的交互变差定义为：12120111121200,lim,limnjjjjjXXTCXXXtXtXtXt23定理5.3.2设111110XtXItRtJt其中111100,,ttItsdWsRtsds1Jt是右连续纯跳过程。则11110cXtXItRt并且111111221100,,,ccTsTXXTXXTJJTsdsJs进一步，(5.3.2)24设另一跳过程222220XtXItRtJt其中222200,,ttItsdWsRtsds2Jt是右连续纯跳过程。则22220cXtXItRt并且121212121200,,,ccTsTXXTXXTJJTssdsJsJs(5.3.3)25利用微分记号，定理5.3.2表明121212ccdXtdXtdXtdXtdJtdJt12210ccdXtdJtdXtdJt即连续过程与纯跳过程的交互变差为0.推论5.3.2Brown运动W与补偿泊松过程M的交互变差为0.我们将由推论5.5.3知道：方程[W,M](t)=0蕴含着W与M独立，从而W与N独立。因此，相应于同一域流的Brown运动与泊松过程必定相互独立。5.4跳过程的随机分析5.4.1关于单个跳过程的Ito公式26对于00(0)ttccXtXsdWssdsIto公式:221212ccccccccdfXtfXtdXtfXtdXtfXttdWtfXttdtfXttdt(5.4.1)(5.4.2)在(5.4.1)中加入纯跳项，得27(0)XtXItRtJt在J(t）的两次跳之间，仍有:221212dfXtfXtdXtfXtdXtfXttdWtfXttdtfXttdt