概率论与数理统计习题及答案谢永钦

概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=A∪B∪C（6）ABC（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（AB）=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P（A）P（AB）]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（BC）P（AC）+P（ABC）111=++4431=31247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率1NnnCnn是多少？【解】p=C5C3C3C2/C1313131313528.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故11P（A）==（）5（亦可用独立性求解，下同）1757（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故65P（A2）=75=（6）57（3）设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A）=1P（A）=1（1）5319.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=CmCnm/CnMNMN（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有Pn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cm种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有Pm种，从NM件次品中取nm件的排列数为Pnm种，M故CmPmPnmNMP（A）=nMNMN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成CmCnmP（A）=MNMN可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cm种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法，故27PnP(A)mC10350C4P(A)CmMm(NM)nm/NnM此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为Nm件正品的概率为，则取得MmnN1MnmN11.略.见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}P(A)C1C3/C31196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.C2C1P(A)4318,3P(A)42C3353C3357722故P(A2∪A3)P(A2)P(A3)3514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）（1）P(A1A2)P(A1)P(A2)0.70.80.56（2）P(A1∪A2)0.70.80.70.80.94（3）P(A1A2∪A1A2)0.80.30.20.70.3815.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.111312121315C4()()2【解】（1）pC()()（2）p224152223225/32516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则3334P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)3P(∪AB)(0.3)3(0.4)3C10.7(0.3)2C10.6(0.4)2i0ii333C2(0.7)20.3C2(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.3207617.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】C4C1C1C1C113p152222102118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.P(AB)0.1（1）p(BA)0.2P(A)0.5（2）p(A∪B)P(A)P(B)P(AB)0.30.50.10.719.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故P(BA)P(AB)6/86P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.P(BA)6720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式P(AB)P(AB)P(B)0.50.05200.50.050.50.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.4C302题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|30.如图阴影部分所示.P1602422.从（0，1）中随机地取两个数，求：6（1）两个数之和小于（2）两个数之积小于的概率；51的概率.4【解】设两数为x,y，则0x,y1.6（1）x+y.5144p1255170.6811（2）xy=.4125p11dx1dy11ln22114244x23.设P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5，求P（B｜A∪B）【解】P(BA∪B)P(AB)P(A∪B)P(A)P(AB)P(A)P(B)P(AB)50.70.510.70.60.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有P(B)P(BAi)P(Ai)i0C3C3C1C2C3C2C1C3C3C36996896796C3C3C3C3C3C3C3C315151515151515150.08925.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知P(AB)（1）P(AB)P(B)0.20.110.027020.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%P(AB)（2）P(AB)P(B)0.80.140.30770.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得63P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)2P(AC)2/30.980.994922/30.981/30.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）1【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=3出一球为白球}.由贝叶斯公式知P(AB)P(A1B),i=0,1,2.又设B={抽1P(B)P(BAi)P(Ai)i02/31/311/31/32/31/311/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得P(AB)P(AB)P(B)0.960.980.960.980.040.050.99829.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得P(A|D)P(AD)P(D)P(A)P(D|A)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.20.050.20.050.50.150.30.30.05730.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.