常微分方程数值解法

数值分析第5章常微分方程数值解法111111222222333333§1引言1.0基本概念1.常微分方程的初值问题：称为具有初值(1.2)的常微分方程.①若f(x,y)在{axb,|y|+}上连续，且关于y满足Lip条件：常数L使|f(x,y1)–f(x,y2)|L|y1–y2|则初值问题(1.1)(1.2)存在唯一连续可微解y(x).注：以下总假设f满足Lip条件.)2.1()()1.1(],[),(0yaybaxyxfy111111222222333333§1引言1.0基本概念1.常微分方程的初值问题：称为具有初值(1.2)的常微分方程.②(1.1)(1.2)等价于微分方程：(1.3)注：一般无初等解(解析解)，即使有形式也复杂.)2.1()()1.1(],[),(0yaybaxyxfy.))(,()(0xadttytfyxy111111222222333333§1引言1.0基本概念2.初值问题的数值解设(1.1)(1.2)的解y(x)在节点xi处的近似解值为yiy(xi),ax1x2…xn=b则称yi(i=1,2,…,n)为(1.1)(1.2)的数值解，又称y(xi)的计算值.)2.1()()1.1(],[),(0yaybaxyxfy111111222222333333§1引言1.0基本概念3.数值方法①两种转化：由微分出发的数值方法.由积分出发的数值方法.②计算方法步进法：从初始条件出发，逐步求y1,y2,…,yn.又有两种：单步法，多步法.注：采用等距节点：xadttytf))(,(.),...,2,1,0(.ninabhihaxi111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.(1.6)).(2))()((1)().(2))()((1)(111iiiiiiiiyhxyxyhxyyhxyxyhxy],[,)(2)()(2)())()((1111iiiiiiiiiixxyhxyyhxyxyxyh111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.1.前进欧拉公式(1.6)的前半部分为：令yi+1=yi+hf(xi,yi)(1.7)其中yi=y(xi),则yi+1y(xi+1)).(2))(,())()((11iiiiiyhxyxfxyxyh).(2))(,()()(21iiiiiyhxyxhfxyxy],[,)(2)()(2)())()((1111iiiiiiiiiixxyhxyyhxyxyxyh111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.1.前进欧拉公式令yi+1=yi+hf(xi,yi)(1.7)其中yi=y(xi),则yi+1y(xi+1)记(1.8)则称(1.7)为前进欧拉求解公式.简称为欧拉公式或欧拉法.(1.8)称为欧拉公式的余项：ei+1(h)=y(xi+1)–yi+1).(2))(,()()(21iiiiiyhxyxhfxyxy)(2)(21iiyhhe).(2)(21iixyhhe111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.2.后退欧拉公式(1.6)的后半部分令yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1)(1.9)其中yi=y(xi),则yi+1y(xi+1)).(2)())()((111iiiiyhxyxyxyh).(2))(,()()(2111iiiiiyhxyxhfxyxy],[,)(2)()(2)())()((1111iiiiiiiiiixxyhxyyhxyxyxyh111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.2.后退欧拉公式令yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1)(1.9)其中yi=y(xi),则yi+1y(xi+1)注：①(1.9)中f(xi+1,yi+1)f(xi+1,y(xi+1))∴余项(1.10)).(2)(2)],())(,([)()(1111111iiiiiiiiiyhyhyxfxyxfhyxyhe111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.2.后退欧拉公式令yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1)(1.9)其中yi=y(xi),则yi+1y(xi+1)注：②称(1.9)为后退欧拉公式(后退欧拉法).称(1.10)为后退欧拉法的误差近似值.③欧拉法与后退欧拉公式的区别：(1.7)为直接计算公式称显式公式.(1.9)为关于函数方程称隐式公式.111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.【例1】取h=0.1求解初值问题：(1.11).解：，xi=ih=0.1i,(i=0,1,2,…,10)①欧拉法：1)0(]1,0[2yxyxyyyxyyxf2),(.9,...,2,1,0)2(1iyxyhyyiiiiixiyi010.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.508970.71.580340.81.649780.91.7177811.78477111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.【例1】取h=0.1求解初值问题：(1.11).解：，xi=ih=0.1i,(i=0,1,2,…,10)②后退欧拉法：1)0(]1,0[2yxyxyyyxyyxf2),()2(1111iiiiiyxyhyy.9,...,2,1,0)1(2)1(8121ihhxhyyyiiiixiyi010.11.090740.21.174080.31.251250.41.323090.51.390180.61.452870.71.511380.81.565770.91.6159811.66181111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.注：为避免求解函数方程，采用显式与隐式结合的方法：此方法称为预测——校正系统.求解过程为：校正值隐式预测值显式)()(),(),(1111iiiiiiiiyxhfyyyxhfyy.)()()(22110nnyyyyyyy111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.预测——校正系统：【例2】利用预测——校正系统求解例1.校正值隐式预测值显式)()(),(),(1111iiiiiiiiyxhfyyyxhfyy1)0(]1,0[2yxyxyy.9,...,2,1,0)2()2(11111iyxyhyyyxyhyyiiiiiiiiiixiy0iyi010.11.11.091820.21.182681.176260.31.259891.254630.41.332271.327810.51.400341.396430.61.464461.460940.71.524891.521620.81.581771.578640.91.635151.6320811.684991.68188111111222222333333§1引言1.1基于数值微分的求解公式.预测——校正系统：注：显式比隐式方便，但有时隐式效果比显式好.(§4介绍).校正值隐式预测值显式)()(),(),(1111iiiiiiiiyxhfyyyxhfyy111111222222333333§1引言1.2截断误差定义1.1称ek(h)=y(xk)–yk为计算yk的公式第k步的局部截断误差.注：①“局部”是指在计算第k步时，假定前面yi=y(xi)(ik).而yky(xk)②——欧拉法.——后退欧拉法.③一般根据y(xk)对y(k),y(k)做估计.)(2)(21kkyhhe).(2)(21iiyhhe111111222222333333§1引言1.2截断误差定义1.2设ei(h)(i=1,2,…,k)为求解公式第i步的局部截断误差.称为该求解公式在点上的整体截断误差.注：①局部截断误差ek(h)与yk有关.整体截断误差Ek(h)与y1,y2,…,yk有关.②所有ek(h)都与h有关.kiikhehE1)()(111111222222333333§1引言1.2截断误差定义1.3若局部截断误差e(h)=O(hp+1)，则称该求解公式具有p阶精度.注：欧拉法具有一阶精度.(精度越高越好)111111222222333333§1引言作业P2081，2，3.111111222222333333§1引言1.3基于数值积分的求解公式(1.13)若已知y(xk)=yk,则计算积分可求出y(xk+1).如用矩形公式求积分则有y(xk+1)=y(xk)+hf(xk,yk)令yk+1=y(xk)+hf(xk,yk)即为欧拉公式.故欧拉公式又称矩形法.).()()())(,(111kkxxxxxyxydxxydxxyxfkkkk.))(,()()(11kkxxkkdxxyxfxyxy).,())(,(1kkxxxxhfdxxyxfkk111111222222333333§1引言1.3基于数值积分的求解公式(1.13)考虑1.梯形公式记(1.14).))(,()()(11kkxxkkdxxyxfxyxy11)())(,(kkkkxxxxdxxFdxxyxf))].(,())(,([2)())](,())(,([2))(,(111111kkkkkkkkkkxxxyxfxyxfhyxyxyxfxyxfhdxxyxfkk)],(),([2111kkkkkkyxfyxfhyy111111222222333333§1引言1.3基于数值积分的求解公式1.梯形公式记(1.14)称(1.14)为梯形(求解)公式.简称梯形法.))].(,())(,([2)())](,())(,([2))(,(111111kkkkkkkkkkxxxyxfxyxfhyxyxyxfxyxfhdxxyxfkk)],(),([2111kkkkkkyxfyxfhyy111111222222333333§1引言1.3基于数值积分的求解公式1.梯形公式梯形(求解)公式,简称梯形法:(1.14)注：①梯形公式的余项：故是二阶精度.)],(),([2111kkkkkkyxfyxfhyy],[)(12)()(1331iiiiixxhOhyhe3)(12)(abfRT1111112222223333331.3基于数值积分的求解公式1.梯形公式(1.14)②梯形公式为隐式公式.显化预测——校正系统(1.15)称(1.15)为改进的欧拉公式，也可记为§1引言)],(),([2111kkkkkkyxfyxfhyy.1,...,2,1,0)()(),(),(1111niyxhfyyyxhfyyiiiiiiii梯形校正欧拉预测))],(,(),([211iiiiiiiiyxhfyxfyxfhyy111111222222333333§1引言1.3基于数值积分的求解公式1.梯形公式(1.14)③可以证明，改进欧拉公式也具有二阶精度.)],(),([2