群论-第2章-群的线性表示理论

1第二章群的线性表示理论和置换群一样，矩阵群也有资格作为样板群，且适用范围更广。群论在物理中的应用一般都是线性表示的形式；我们对矩阵和数更熟悉。F.G.Fronenius,W.Burnside开创一、群的线性表示（linearrepresentation）1．定义线性表示即群G到GL(n,C)的同态：群G的每个元素与一个n阶非奇异复矩阵)(gT对应，且保持群的乘法结构，)()()(G,hgghgTTT，象(G)f称为群G的一个n阶（线性）表示。单位表示所有元素均映射为1酉(unitary)表示（幺正表示）1,TT1ΤΤ实表示表示矩阵是实矩阵（广义定义是和实数矩阵等价的表示）忠实（fidelity）表示群表示和原来的群同构定理1)(eT,𝑇(𝑔−1)=𝑇−1(𝑔)2．例作3D群的线性表示。写出3维空间的旋转矩阵即可。e：不动，1,1,1diag)(eT。a：绕1轴转1800，1,1,-1-diag)(aT。b：绕2轴转1800。可以利用转动群的生成元按公式Jiexp来写（参考转动群一章）。这里我们把b看成是zz，且坐标x、y在平面内对2轴作镜像。二维平面上的直线方程为crn，或0)(ncrn其中n是原点到直线的垂线方向，c是原点到直线的距离。容易得到，任意一点0r对直线的镜像为nnrncr)(2200。ABCOxy1232对于直线2，0c，直线与x轴夹角为300，n与x轴夹角为1200，)2/3,2/1(n，yxyxyxyxyx212323212/32/1)2321(2，10002/12/302/32/1)(bT。c：绕3轴转1800，n与x轴夹角为600，)2/3,2/1(n，10002/12/302/32/1)(cT。d：绕z轴逆时针转1200。二维空间逆时针转的转动矩阵为cossinsincos，10002/12/302/32/1)(dT。f：绕z轴逆时针转2400，10002/12/302/32/1)(fT。3．性质（1）复共轭表示：群G的线性表示{𝑇(𝑔)|𝑔∈𝐺}的复共轭{𝑇∗(𝑔)|𝑔∈𝐺}，也是群G的线性表示。（2）对偶(dual)表示：)(~)(1ggTT☆（3）酉表示的对偶表示即复共轭表示（4）直积表示：群表示的直积是直积群的表示。（5）商群的表示可以提升为群的表示。4．表示空间群作用空间（actionspace）群表示变换的对象，又称为表示空间。例如转动群作用空间是三维空间矢量，在函数空间的表示的作用对象是三元函数。3群的不变子空间作用空间中V，在群变换下封闭的子空间W。invariantsubspace∀𝑔∈𝐺,𝑇(𝑔)𝑊⊆𝑊平庸不变子空间（trivialinvariantsubspace）：零空间和V推论：对有限维表示，T(G)W⊆W⇔T(G)W=W例如在四维时空中，转动群的不变子空间是三维空间。群表示论的核心问题是怎样找出一个群所有的线性表示。5．等价表示等价表示只相差一个相似变换：设G是群，(G)T和(G)'T都是群G的线性表示，如果存在一个矩阵S，使得)(')(G,1gggTSST，则称这两个表示是等价的注：规范矩阵（AAAA）都可以对角化，但是一般来说，对不同的群元素，变换矩阵不会相同，)(gSS。所以不会出现所有的酉表示均等价于对角矩阵表示这种情形。群的线性表示之间的等价是一个等价关系。集合{群G的所有线性表示}可按这一等价关系分拆为等价表示类，只要找到一个代表就可以了。可以选择这个代表为酉表示：定理有限群的每个等价表示类中都存在一个酉表示。证明设)(GT是群G的一个表示，我们把与之等价的幺正表示找出来。相似变换矩阵S必然取决于GggT|)(，即由)(gT来构造；但是又必须与g无关，是一个常数矩阵，可以尝试令GggTgTS)()(2。由重排定理，22)()()()(SghTghThTShTGg，从而有，如果矩阵2S能够开方，并且开方后所得矩阵S是非奇异的厄米矩阵，SS，0detS，则可以取1)()(ShSThU，)(GU是群G的幺正表示，1)()()()(12111SSSShSSThTShUhU。下面对2S开方：因为2S是厄米矩阵，可以对角化，122QQDS，其中2D是对角矩阵，对角元都是实数，是2S的本征值；Q是酉矩阵，每列都是2S的归一化本征矢。取等价表示4QgTQgT)()(1，)()(2gTgTDGg，可得对角元非负，0)()()(22GgjjkGgjjkkjkkgTgTgTD进一步的，对角元非0，如果为0，则Gg，)(gT的第k列全为0，与表示矩阵)(gT非奇异矛盾。于是可以将2D开方，对角元取相应的正实根，则D是非奇异的实对角矩阵，1QDQS为非奇异厄米矩阵。另一种证明：群G的线性表示表示𝑇(G)是𝑚×𝑚矩阵，作用在𝑚维复线性空间V。在V上定义两个矢量的内积(𝑥|𝑦)≝𝑥𝑗∗𝑦𝑗正交标准基为(𝑒𝑗)𝑘≡𝛿𝑗𝑘。定义新的内积⟨𝑥|𝑦⟩≝1|G|∑(𝑇(𝑔)𝑥|𝑇(𝑔)𝑦)ℎ∈G则这个内积在群变换下不变，⟨𝑇(𝑔)𝑥|𝑇(𝑔)𝑦⟩≝1|G|∑(𝑇(𝑔ℎ)𝑥|𝑇(𝑔ℎ)𝑦)ℎ∈G=1|G|∑(𝑇(ℎ′)𝑥|𝑇(ℎ′)𝑦)ℎ′∈G=⟨𝑥|𝑦⟩设新的内积定义下，正交标准基为𝑓𝑗。⟨𝑓𝑗|𝑓𝑘⟩=𝛿𝑗𝑘设两组标准基之间的坐标变换为𝑓𝑗=𝑆𝑒𝑗⟨𝑆𝑒𝑗|𝑆𝑒𝑘⟩=𝛿𝑗𝑘=(𝑒𝑗|𝑒𝑘)⇒⟨𝑆𝑥|𝑆𝑦⟩=(𝑥|𝑦),⟨𝑥|𝑦⟩=(𝑆−1𝑥|𝑆−1𝑦)现在有(𝑥|𝑦)=⟨𝑆𝑥|𝑆𝑦⟩=⟨𝑇(𝑔)𝑆𝑥|𝑇(𝑔)𝑆𝑦⟩=(𝑆−1𝑇(𝑔)𝑆𝑥|𝑆−1𝑇(𝑔)𝑆𝑦)由𝑥,𝑦的任意性知𝑈(𝑔)≝𝑆−1𝑇(𝑔)𝑆是幺正矩阵，构成群G的幺正表示。性质酉表示矩阵的本征值模为1，|迹|≤n.5二、不可约表示两个线性表示可以通过直和得到一个更高维数的表示𝑇(𝑔)=(𝑇1(𝑔)𝟎𝟎𝑇2(𝑔))我们认为这种表示不是“基本”的。1．可约表示定义：表示空间中含有群的非平庸不变子空间（真不变子空间）W，∀𝑔∈𝐺,𝑥∈𝑊,𝑇(𝑔)𝑥∈𝑊推论：∀𝑔∈𝐺,𝑥∈𝑊,𝑦∈𝑊⊥,(𝑦,𝑇(𝑔)𝑥)=0定义：表示矩阵𝑇(𝐺)等价于（把W中的分量排在前面）∀𝑔∈𝐺,𝑇(𝑔)∼(∗∗𝟎∗)2．完全可约正交补空间：设W是V的子空间，其正交补空间W⊥={𝑦∈V|∀𝑥∈W,(𝑥,𝑦)=0}性质：正交补空间W⊥满足W∩W⊥={0},W⊕W⊥=V.定义：表示空间中含有非平庸的不变子空间，并且其正交补空间也是不变子空间定义：表示矩阵𝑇(𝐺)可以同时准对角化，∀𝑔∈𝐺,T(𝑔)∼(∗𝟎𝟎∗)3．不可约表示定义：表示空间中不存在真不变子空间不可能把表示矩阵𝑇(𝐺)={𝑇(𝑔)|𝑔∈𝐺}同时准对角化。4．性质（1）(Maschke)有限群的任意线性表示可约完全可约。证明1：设T(G)可约，不变子空间为W。等价的酉表示为𝑈(𝑔)=𝑆𝑇(𝑔)𝑆−1可得6∀𝑔∈𝐺,𝑇(𝑔)𝑊=𝐺⇔∀𝑔∈𝐺,𝑆−1𝑈(𝑔)𝑆𝑊=𝑊⇔∀𝑔∈𝐺,𝑈(𝑔)𝑆𝑊=𝑆𝑊𝑊′≝𝑆𝑊是U(G)的不变子空间。现在W′的正交补空间W′⊥也是U(G)的不变子空间：∀𝑥∈𝑊′,𝑦∈𝑊′⊥,(𝑥,𝑈(𝑔)𝑦)=(𝑈(𝑔−1)𝑥,𝑦)=(𝑥′,𝑦)=0⇔∀𝑦∈𝑊′⊥,𝑈(𝑔)𝑦∈𝑊′⊥⇔𝑈(𝑔)𝑊′⊥⊆𝑊′⊥所以U(G)完全可约。证明2：T(G)可约，设已经通过相似变换，成为如下形式𝑇(𝑔)=(𝑇1(𝑔)𝐷(𝑔)𝟎𝑇2(𝑔)),∀𝑔∈𝐺𝑇(𝐺)是同态，所以𝑇(𝑔ℎ)=𝑇(𝑔)𝑇(ℎ)(𝑇1(𝑔ℎ)𝐷(𝑔ℎ)𝟎𝑇2(𝑔ℎ))=(𝑇1(𝑔)𝑇1(ℎ)𝑇1(𝑔)𝐷(ℎ)+𝐷(𝑔)𝑇2(ℎ)𝟎𝑇2(𝑔)𝑇2(ℎ))取常数矩阵𝑆≝(𝟏−1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝟎𝟏),S−1=(𝟏1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝟎𝟏)则𝑆𝑇(𝑔)𝑆−1=(𝟏−1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝟎𝟏)(𝑇1(𝑔)𝐷(𝑔)𝟎𝑇2(𝑔))(𝟏1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝟎𝟏)=(𝑇1(𝑔)𝐷(𝑔)−1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝑇2(𝑔)𝟎𝑇2(𝑔))(𝟏1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝟎𝟏)=(𝑇1(𝑔)1|𝐺|𝑇1(𝑔)∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺+𝐷(𝑔)−1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝑇2(𝑔)𝟎𝑇2(𝑔))利用同态性，𝑇1(𝑔)∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺=∑{𝐷(𝑔ℎ)−𝐷(𝑔)𝑇2(ℎ)}𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺=∑𝐷(ℎ′)𝑇2(ℎ′−1𝑔)ℎ′=𝑔ℎ∈𝐺−|𝐺|𝐷(ℎ)=∑𝐷(ℎ′)𝑇2(ℎ′−1)ℎ′∈𝐺𝑇2(𝑔)−|𝐺|𝐷(ℎ)𝑇1(𝑔)∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺−∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝑇2(𝑔)=−|𝐺|𝐷(ℎ)1|𝐺|𝑇1(𝑔)∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺+𝐷(𝑔)−1|𝐺|∑𝐷(ℎ)𝑇2(ℎ−1)ℎ∈𝐺𝑇2(𝑔)=0𝑆𝑇(𝑔)𝑆−1=(𝑇1(𝑔)𝟎𝟎𝑇2(𝑔))（2）有限群的在内积空间的表示等价于若干不可约表示的直和；)(~)()(1gTgTpmqpp相应的表示空间可化为若干不变子空间的直和。于是群表示的核心问题成为找出所有不等价不可约的幺正表示。7三、群代数和正则表示所有的不等价不可约表示均包含在一个特殊的线性表示—正则表示之中。作为准备为此需引进群代数、群函数的概念。1．线性代数R是数域K上的线性空间（定义了矢量的加法和数乘），在R中定义乘法，使之满足,,,,KaRzyx（1）乘法封闭：Rxy，（2）分配律：yzxzzyxxzxyzyx)(,)(，（3）数乘：)()()(ayxyaxxya，则称R为线性代数。结合代数：额外满足)()(yzxzxy例如三维空间对矢量的叉乘，构成线性代数，但不是结合代数。2．群空间对群nggG,,1，定义数乘和加法可得线性空间GV：CanaaaGxgxxxV,|1即群元是线性空间的基底，设GVyx,，则naaanaaagyygxx11,，；naaaagyxyx1)(；naaagxx1)(,C。若进一步定义nggG,,1为标准基，jkkjgg),(，可得GV为酉空间。83．群代数在群空间GV中进一步定义乘法，nbababaggyxxy1,))((，得到一个结合代数GR。（是含幺环）4．正则表示取群代数RG作为群G的表示空间，Gg，将其映射为GR上的线性变换)(gL，满足ghhgLGh)(,（即naaaggxxgL1)()(）。)(gL构成一个忠实表示，称为左正则表示。矩阵元为