2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：月收入（单位：百元）)20,10[)30,20[)40,30[)50,40[)60,50[)70,60[频数5203031104赞成人数214243073(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【答案】（1）详见解析；（2）2011.【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564，∵527564，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2)将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,aaa，赞成的2人记为54,aa，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b，赞成的3人记为,,,432bbb从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20n，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有58401554082),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121bababababababababababa共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011P.【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算．【思维点拨】1.求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式1PAPA＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A包含的基本事件个数；代入公式，求出()PA；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比.题型二统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160.所以样本中的男生人数为60230，女生人数为4060100，男生和女生人数的比例为2:340:60，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3.【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,ab的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关(0.010.020.040.02)100.9[40,50)1001000.955[40,50)5400201004系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．6.独立性检验的关键①根据22列联表准确计算2K，若22列联表没有列出来，要先列出此表．②2K的观测值k越大，对应假设事件0H成立的概率越小，0H不成立的概率越大．题型三概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1)(2)（3）的分布列为01234；．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为AxZ2,NZ14.55,38.4510,30XX142.7511.952~,ZN()0.6826PZ(22)0.9544PZ26.5x0.6826XXP1161438141162EXx．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布),(2N．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在)3,3(之外的零件数，求)1(XP及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在)3,3(之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：95.912.1096.996.901.1092.998.904.1026.1091.913.1002.1022.904.1005.1095.950.1150.2250.3350.25450.1526.5xZ2,N26.511.95(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826PZPZZ14.55,38.450.68261~4,2XB404110216PXC41411124PXC42413228PXC43411324PXC444114216PXCXXP1161438141161422EX6经计算得97.9161161iixx，212.0)16(161)(161216121612xxxxsiiii，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，.16,,3,2,1i用样本平均数x作为的估计值^，用样本标准差s作为的估计值^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除)3,3(^^^^之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到01.0)．附：若随机变量Z服从正态分布),(2N，则9592.09974.0,9974.0)33(16ZP,09.0008.0.【答案】（1）)1(XP0408.0；0416.0)(XE；（2）需要；的估计值为02.10，的估计值为09.0.【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在)3,3(之内的概率为9974.0，从而零件的尺寸在)3,3(之外的概率为0026.0，故).0026.0,16(~BX因此)0(1)1(XPXP0408.09974.0116.X的数学期望为0416.00026.016)(XE.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在)3,3(之外的概率只有0026.0，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在)3,3(之外的零件的概率只有0408.0，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由212.0,97.9sx，得的估计值为97.9^，的估计值为212.0^，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在)3,3(之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除)3,3(^^^^之外的数据22.9，剩下数据的平均02.10)22.997.916(151.因此的估计值为02.10134.159197.916212.016221612iix，剔除)3,3(^^^^之外的数据22.9，剩下数据的样本方差为008.0)02.101522.9134.1591(15122，因此的估计值为09.0.【易错点】1．正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是利用正态分布求出)1(XP，进而求出)(XE.2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，要可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用小概率问题，说明监控生产过程方法的合理性．3．注意规范答题：解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要准确、规范，需要文字表达的，不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置