共轭梯度法及其基本性质

共轭梯度法及其基本性质预备知识定义1设是对称正定矩阵。称是A-共轭的，是指性质1设有是彼此共轭的维向量，即则一定是线性无关的。［证明］若有一组数满足则对一切一定有注意到，由此得出：即所有的＝０．因此，是线性无关的．性质２设向量是线性无关的向量组，则可通过它们的线性组合得出一组向量，而是两两共轭的．［证明］我们用构造法来证实上面的结论．Ｓ０：取；Ｓ１：令，取．……Ｓm：令取容易验证：符合性质２的要求．性质３设是两两Ａ－共轭的，是任意指定的向量，那么从出发，逐次沿方向搜索求的极小值，所得序列，满足：．［证明］由下山算法可知，从出发，沿方向搜索，获得从而性质４设是两两Ａ共轭的，则从任意指定的出发，依次沿搜索，所得序列满足：（１）（２），其中是方程组(5.1.1)的解．［证明］（１）是性质３的直接推论，显然成立．（２）由于是两两Ａ共轭的，故是线性无关的．所以对于向量可用线性表出，即存在一组数使由于及，得出，于是，再由得出于是，与得出一样地，我们可以陆续得出：对比和的表达式可知，证明完毕性质４是性质３的直接推论．但它给出了一种求（５.１.１）的算法，这种算法称之为共轭方向法．结合性质２，我们可以得到如下的性质５．性质５设是上的一组线性无关的向量，则从任意指定的出发，按以下迭代产生的序列：Ｓ１：取，，；Ｓ２：计算，取；计算，得出；如此进行下去，直到第n步：Ｓn：计算取计算，得出．显然：根据性质４可知，不论采用什么方法，只要能够构造个两两Ａ共轭的向量作为搜索方向，从任一初始向量出发，依次沿两两Ａ共轭的方向进行搜索，经步迭代后，便可得到正定方程组的解．共轭梯度法算法步骤如下：［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］（１）如果，终止算法，输出；否则下行；（２）计算：（３）计算：（４）置，转入（１）．定理５.2.1由共轭梯度法得到的向量组和具有如下性质：（１）（２）（３）（４），其中（5.2.1）通常称之为Krylov子空间．［证明］用归纳法．当时，因为，因此定理的结论成立．现在假设定理的结论对成立，我们来证明其对也成立．利用等式及归纳假设，有又由于，故定理的结论（１）对成立．利用归纳假定有而由（１）所证知，与上述子空间正交，从而有定理的结论（２）对也成立．利用等式和，并利用归纳法假定和（２）所证之结论，就有．成立；而由的定义得这样，定理的结论（３）对也成立．由归纳法假定知进而于是再注意到（２）和（３）所证的结论表明，向量组和都是线性无关的，因此定理的结论（４）对同样成立．定理证毕定理5.2.1表明，向量和分别是Krylov子空间的正交基和共轭正交基．由此可见，共轭梯度法最多步便可得到方程组的解．因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法．定理5.2.2用共轭梯度法计算得到的近似解满足（5.2.２）或（5.2.３）其中，是方程组的解，是由（5.2.1）所定义的Krylov子空间．证明注意到：，则（5.2.2）和(5.2.3)是等价的，因此我们下面只证明(5.2.3)成立．假定共轭梯度法计算到步出现，那么有此外，对计算过程中的任一步，有设是属于的任一向量，则由定理5.2.1的（４）知，可以表示为，于是而，再利用定理5.2.1的（３）就可以推出于是定理得证．定理证毕由定理5.2.1，我们容易得出由此可得(5.2.4)另外，从理论上讲，该迭代法经次迭代，便能得到精确解．但考虑到计算误差，可以作为无限迭代算法进行计算，直到为止．从而，我们得到如下实用的共轭梯度算法：［预置步］任意，计算，并令取：指定算法终止常数，置，进入主步；［主步］（１）计算：，（２）如果，转入（3）．否则，终止算法，输出计算结果（３）计算：（４）置，转入（1）注：在算法［主步］中，引入变量，及，可以简化计算。结合程序设计的特点，共轭梯度法可改为如下实用形式：算法５·３·１（解对称正定方程组：实用共轭梯度法）；whileandifelseendend共轭梯度法作为一种实用的迭代法，它主要有下面的优点：算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量产生向量，这不仅可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供矩阵Ａ较为困难而由已知向量产生向量又十分方便的应用问题是很有益的；不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像ＳＯＲ等；每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。5.2.3收敛性分析将共轭梯度法作为一种迭代法，它的收敛性怎样呢？这是本节下面主要讨论的问题：定理５.2.3如果而且，则共轭梯度法至多迭代步即可得到方程组的精确解。证明注意到蕴含着子空间的维数不会超过，由定理５.2.1即知定理的结论成立。定理证毕定理5·2·3表明，若线性方程组（5·1·1）的系数矩阵与单位相关一个秩的矩阵，而且很小时，则共轭梯度法将会收敛得很快。定理5·2·4用共轭梯度法求得的有如下的误差估计（5·2·5）其中证明由定理5·2·1可知，对任意的，有记，则是常数项为1的次实系数多项式。令为所有常数项为1的次数不超过的实系数多项式的全体，则由定理5·2·2和引理5·1·1得其中是的特征值。由Chebyshev多项式逼近定理及Chebyshev多项式的性质，定义在[-1，1]区间上的次Chebyshev多项式：是所有常数项为1的次数不超过的实系数多项式中，在[-1，1]上与“0”的偏差值最小的多项式。且偏差值为1，对应的交错点组为：。因此，多项式是中在上与“0”的偏差值最小的多项式。即于是，我们有因此，定理得证。定理证毕虽然定理5·2·5所给出的估计是十分粗糙的，而且实际计算时其收敛速度往往要比这个估计快得多，但是它却提示了共轭梯度法的一个重要的性质：只要线性方程组（5·1·1）的系数矩阵是十分良态的（即），则共轭梯度法就会收敛的很快。