立体几何解题技巧例说

网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页立体几何解题技巧例说安徽李庆社(一)有关点共线、点共面、面共线问题【例1】已知D、E、F分别是三棱锥S－ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且直线FD与CA交于M，FE与CB交于N，DE与AB交于P，求证：M、N、P三点必共线．点拨：证明若干个点共线的重要方法之一，是证明这些点分别是某两个平面的公共点．证明：由已知，显然M、N、P在由D、E、F所在的平面，又M、N、P分别在直线CA、CB和AB上，故M、N、P必然在A、B、C所在的平面内，即M、N、P是平面DEF与平面ABC的公共点，∴它们必在这两个平面的交线上，故M、N、P三点共线．点评：证明点共面、线共面的基本途径是先由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其余元素在该平面内．(二)有关空间角问题【例2】在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别为棱BC和AD的中点(如下图)．(1)求AE与CF所成的角；(2)求CF与面BCD所成的角．点拨：(1)欲求两条异面直线所成的角，需将其中一条平移到与另一条相交的位置，而平移时，常在某一平面内进行．(2)欲求直线与平面所成的角，需过该直线上的某一点(异于与平面的交点)作该平面的垂线．通常是在与该平面垂直的平面内作出这条垂线，而后便可作出线面角．解：(1)在平面AED内，过F作FK∥AE，交ED于K，则∠CFK是异面直线AE与CK所成角(或是其补角)．该棱长为a，通过计算，可得，，，由余弦定理∠··，∴∠，即异面直线与所成的角为．FK=12AE=34aCF=32aCK=74acosCFK==23CFK=arccos23AECFarccos23CFFKCKCFFK2222(2)∵各棱长均相等，E为BC中点，∴BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥面AED∴面AED⊥面ABC，过F作FH⊥ED于H，则FH⊥面BCD，∴∠FCH是CF与面BCD所成的角．FHAOFH=66asinFCH=FHCF=23是四面体的高的一半，∴∴∠，∴∠故与面所成的角为．FCH=arcsin23CFABCarcsin23网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页【例3】已知D、E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1(如图)求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成二面角的大小．点拨：在图上，过D、E、C1的面与棱柱底面只给出一个公共点C1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小．解：在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEC1与面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线，所求的二面角就是D－C1F－A1的平面角．∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E．∴E、B1分别为DF和A1F的中点，∵A1B1=B1C1=A1C1，∴FC1⊥A1C1，又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内∴FC1⊥面AA1C1C，而DC1在面AA1C1C内，∴PC1⊥DC1，∴∠DC1A1是二面角D－FC1－A1的平面角．由已知，∴∠π．故所求二面角的大小为π．AD=BC=ACDCA=41111114点评：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可．若利用θ求θ，其中θ为二面角的大小，△△cos=SS()A1B1C1DEC1作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理．(三)有关空间距离问题【例4】如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别为AB、AD的中点，GC⊥面ABCD且CG=2．求点B到平面GEF的距离．点拨：因点B在面GEF的射影不好确定，所以不宜直接求其距离，由已知容易得出BD∥GEF，故可将求B到面GEF的距离问题转化为求直线BD与面GEF的距离来解决．解法1：连接BD，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又∵EF在面GEF内，而BD不在面GEF内，∴BD∥面GEF．∴B到面GEF的距离等于直线BD到面的距离，连接AC，网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页分别交EF和BD于K，O，连GK，∵EF⊥AC，EF⊥GC，∴EF⊥面GCK．又在EF在面GEF内，∴面GEF⊥面GCK．过O在面GCK内作OH⊥GK于H，则OH⊥面GEF，∴OH即为BD平面GEF的距离．∵△∽△∴．已知，又，．∴．GCKOHKGC=2OK=14AC=2GK=KCOH=2112OHGCOKGKGC22211解法2：用体积法∵BD∥EF，且EF在面GEF内，BD不在面GEF内，BD∥面GEF，BD与AC交于O，则B到面GEF的距离=BD到面GEF的距离=O到面GEF的距离．∴VB-GEF=VO-GEF．设O、C到面GEF的距离分别为h1，h2，∵KO∶KC=1∶3，∴h1∶h2=1∶3，∴∶··∶··∶∶，△△VV=(13Sh)(13Sh)=hh=13OGEFCGEFGEFGEF1212在△中，斜边上的高·×，∴．故到面的距离为．RtGCKGKh=GCGKh=211BGEF21GK232418622261121111(四)立体几何最值问题【例5】已知如图等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC．分别交AB和AC于DE．将△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′－DE－B为60°二面角．求A′到直线BC的最小距离．点拨：首先应作出A′到BC的距离．显然A′到BC的距离的大小与DE的位置有关，而DE的位置又可由A点到DE的距离表示，由此，A′到BC的距离可表示为A到DE的距离的函数，进而可解决问题．解：取BC的中点O，连AO交DE于O′．∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AO′⊥DE，连A′O′，则A′O′⊥DE，∴DE⊥面A′O′O，∵DE∥BC，∴BC⊥面A′O′O，∴BC⊥A′O，故A′O为A′到BC的距离，且∠A′O′O为二面角A′－DE－B的平面角，∴∠A′O′O=60°．网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页设AO′=A′O′=x，∵AB=AC=13，BC=10，∴AO=12，O′O=12－，在△′′中，由余弦定理有′′′′′′·′·°···xAOOAO=AO22222226012212123361443636OOAOOOxxxxxxxcos()()()∴当x=6时，A′O取得最小值6．即当DE恰为△ABC的中位线时，A′到BC的距离最小，其值为6．(五)立体几何综合问题【例6】已知如图，ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，(1)求证AB1∥面DBC1；(2)若AB1⊥BC1，求以BC1为棱DBC1与CBC1为面的二面角的度数．点拨：(1)欲证AB1∥平面DBC1，只需在平面DBC1内找出一条与AB1平行的直线即可．由于D是AC的中点，就自然要考虑取BC1的中点E，显然DE∥AB1，问题即可解决．(2)欲求二面角D－BC1－C即二面角α的度数，则需找出它的平面角，由已知，平面ABC⊥面B1BCC1，则过D作DF⊥BC，则DF⊥面B1BCC1，连接EF，由条件AB1⊥BC1，可证明DE⊥BC，再利用三垂线定理(或内定理)可证出BC1⊥CF，即可得二面角α的平面角∠DEF．通过计算，问题可解决．解：(1)∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C交BC1于E，则B1E=EC，连结DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面DEABABDBCDEDBCAB1111DBC1．(2)在面ABC内，过D作DF⊥BC于F，则DF⊥平面B1BCC1，连接EF，则EF是ED在平面B1BCC1内的射影．网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页∵AB1⊥BC1，∴由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，由三垂线逆定理可知BC1⊥EF．∴∠DEF是二面角α的平面角，设为θ，设AC=a，则，∵△是正三角形．CD=12aABC∴在△中，·∠，·∠．RtDCFDF=DCsinDCF=34aCF=DCcosDCF=14a取BC的中点G，∵EB=EC∴GE⊥BC．在△中，·，又－，，∴·，∴．∴∠∴∠°．RtBEFEF=BFGFBF=BCFC=34aGF=14aEF=34aaEF=34atanDEF=DFEF=1DEF=452214故二面角α为45°点评：要善于从不同角度观察某一几何体，这是考查空间想象能力的重要方面，把一个正三棱柱放倒之后，其性质是不改变的，如B1BCC1是矩形，面ABC⊥面B1BCC1等，应正确识别．(1)的证明，体现了将证线面平行转化为证线线平行的转化思想；(2)的解答，是通过作出二面角的平面角，将立体几何问题转化为平面几何的有关计算问题来解决的．(六)解立体几何计算题的一般方法1．几何计算题的结构是根据已知的若干几何量或位置关系推求另一些几何量．而已知的位置关系通常也要转化为几何量最基本的几何量有两个：线段和角．其他几何量或者用线段和角来定义，或者可表示成线段和角．例如，两点间的距离，点到平面的距离其本身就是线段的长；异面直线所成的角，直线与平面所成的角，是直接用角来表述的概念；而求积公式也都可以用线段或角来表示．由上述可知，几何计算题的结构实为根据已知的线段和角推算未知的线段和角．为此，解几何计算题必须了解和运用由线段和角构成的关系式(即以线段和角为未知量而构成的多元方程)．满足这个需要的基本知识多是三角形的边角关系(锐角或钝角的三角函数，正弦定理，余弦定理等)．所以，解几何计算题的一般方法是，把题中的线段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的结果．所以，解几何计算题的过程大多是一连串的解三角形的过程，而解三角形的过程又是解方程(组)的过程．解几何计算题的一般方法与解几何证明题的一般方法一样，也是从题目自身的特点得出的．由于计算过程就是推算过程，当我们寻求计算题的已知条件与未知量的联系时，也要使用综合法及分析法．2．已知条件与图形的形状和大小网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共1页这里所说的“形状”不是通常指的某个三角形是直角三角形还是等腰三角形等意思，而是与相似相联系的，就是说形状相同的两个图形是相似的．这里所说的“大小”指的是面积及体积．解一个几何计算题，在下手计算之前如能弄清图形的形状大小，就会有助于对问题进行总体的分析．所给图形的形状大小决定于所给的条件，由此，几何计算题可分为以下四种基本类型：(1)形状和大小都确定；(2)形状确定，大小不定；(3)大小确定，形状不定；(4)形状和大小都不确定，对第(1)种类型来说，若依照已知条件分别画出两个图形F和F′，则F≌F′，即F与F′重合，为了简便起见，本节以下将称这种类型的图形是确定的图形．对第(2)种类型来说，若依照已知条件画出两个图形F和F′，则F～F′，本节今后将称这种类型的图形的形状是确定的．第(1)，(2)两种类型的计算题是常见的，也是比较重要的，下面通过例题加以说明．【例7】如图1，P是二面角α－AB－β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α－AB－β的大小是多少？点拨：图1，是一个形状确定的图形，这是因为∠BPM=45°，所以射线PM在α内的位置是确定的，同理PN在β内的位置也是确定的．若角MPN的大小不定，即PM与PN的相互位置关系不定，则由AB，PM