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管理科学专业“运筹学”课程案例教学情况说明目录第一部分概述………………………………………………………………1第二部分线性规划（案例）…………………………………………………2第三部分非线性规划（案例）………………………………………………7第四部分整数规划（案例）………………………………………………11第五部分运输问题（案例）…………………………………………………14第六部分最大流问题（案例）………………………………………………17第七部分排队论（案例）…………………………………………………21东北财经大学数学与数量经济学院学院管理科学教研室2006年10月东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书1第一部分概述进入21世纪以来，信息社会和知识经济迅速发展，我国高等教育改革逐步深化，高等教育规模不断扩大，我国高等教育迅速进入大众化阶段。当前，我省高等教育的发展战略重心将由规模扩张全面转移到提升质量上来。新形势下我省高等教育事业的迅速发展和建设老工业基地的经济社会需要，提出了我省普通高等院校培养适应现代化建设需要的具有创新精神、实践能力和创业精神的高素质、应用型人才的人才培养目标。运筹学是一门运用定量分析方法研究和解决管理、经济和工程技术中的实际问题，从而为决策者提供科学决策方法和量化工具的一门学科。随着我国经济的持续快速发展，社会经济的各个领域越来越注重运用定量分析方法进行决策，以取得更好的经济效益和社会效益。当前，运筹学教育面临着新的挑战和问题，其突出表现为：（1）在人才培养目标上，更加强调培养学生运用优化的思想和方法解决实际工程、经济、管理问题的能力；（2）在课程体系上，通识教育和学习型社会的兴起，出现了课程选修多样化、专业课时逐步压缩的总体趋势；（3）在教学手段上，多媒体技术、网络技术迅速走进高校，带来了教育观念、教学手段和教学管理的革新。新形势下运筹学教育所面临的机遇和挑战，对从事运筹学一线教学的教师和教学管理人员提出了迫切的教学改革要求。一方面需要我们摒弃过去那种只讲理论建模而轻视（甚或忽视）实践的教学模式，把引导学生在理解运筹学的基本理论和方法的基础上，大幅度提高其运用运筹学方法进行优化决策的能力作为教学的首要目标；另一方面必须大幅度地提高运筹学教学的效率，在巩固传统黑板板书教学模式优点的基础上，结合更加新颖、有效、多样化的教学手段，更有效地实现高素质、应用型人才的培养目标。为了迎接这些挑战，意味着我们教师必须重新对运筹学原有的教育观念和教学体系作全面的审视和思考。为此，我们数学与数量经济学院管理科学教研室在“运筹学”课程教学活动中大力开展案例教学、实验教学活动，并取得了一定的成果。我院管理科学等专业的学生在参加全国和世界数学建模竞赛活动、社会调查活动中，多次取得良好的成绩，受到学校领导和老师的高度表扬和鼓励。例如，2006年我院郑永冰副教授担任指导教师，组织以我院学生为主的东财代表队参加了2006年度美国大学生数学建模竞赛。十几个国家和地区的近1000个代表队参加了此次竞赛，东财代表队荣获二等奖（竞赛结果见06年3月21日美国数学及其应用联合会网站，见支撑材料6）。在2006年度社会实践调查活动中，管理科学专业05级学生许露霞、刘恩妤等多人获得东北财经大学社会实践调查一等奖。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书2第二部分线性规划例雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问：（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？（4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？表1雅致家具厂基本数据家具类型劳动时间（小时/件）木材（单位/件）玻璃（单位/件）单位产品利润（元/件）最大销售量（件）12466010021222020033114050422230100可提供量400小时600单位1000单位解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。据此，列出下面的线性规划模型：其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。①②③④⑤⑥⑦⑧（非负约束）需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具（劳动时间约束）（玻璃约束）（木材约束）0,,,41003502200110040023121000226600224..30402060432143214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxMaxZ东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书3第一步在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。第二步在“工具”菜单中选择“规划求解”。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书4第三步在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。第四步点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。第五步选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。单击“求解”，即可解决此题。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书5最后结果如下页图所示。与此结果对应的敏感性报告如下表所示。说明：（1）可变单元格表中，终值对应决策变量的最优解；递减成本指目标函数中决策变量的系数必须改进多少才能得到该决策变量的正数解，改进对最大值为增加，对最小值为减少。（2）允许的增量（或减量）指在保证最优解不变的前提下，目标函数系数的允许变化值。（3）在约束表中，终值是指约束的实际用量；影子价格式指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数值；这里的允许的增量（或减量）是指在影子价格保持不变的前提下，终值的变化范围。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书6根据模型运行结果可作出如下分析：(1)由模型的解可知，雅致家具厂四种家具的最优日产量分别为100件、80件、40件和0件，这时该厂的日利润最大，为9200元。本问题的敏感性报告如上页表所示。由上述敏感性报告可进行灵敏度分析，并回答题目中的问题(2)一(5)。(2)由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为12元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加l小时劳动时间，该厂的利润(目标值)将增加12元。因此，付给某工人10元以增加l小时劳动时间是值得的，可多获利为：12—10＝2(元)。(3)当可提供的劳动时间从400小时减少为398小时时，该减少量在允许的减量(100小时)内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为12元。因此，该厂的利润变为：9200+12X(398—400)＝9176(元)。(4)由敏感性报告可见，劳动时间与木材这两种资源的使用量等于可提供量，所以它们的约束条件为“紧”的，即无余量的；而玻璃的使用量为800，可提供量为1000，所以玻璃的约束条件是“非紧”的，即有余量的。因此，应优先考虑购买劳动时间与木材这两种资源。(5)由敏感性报告可知，家具1的目标系数(即单位利润)允许的减量为20，即当家具1的单位利润减少量不超过20元时，最优解不变。因此，若家具1的单位利润从60元下降到55元，下降量为5元，该下降量在允许的减量范围内，这时，最优解不变。因此，四种家具的最优日产量仍分别为100件、80件、40件和0件。最优值变为：9200+(55－60)X100＝8700(元)。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书7第三部分非线性规划案例：北海玩具厂生产一种玩具，设该玩具下月产量为x(个)，而且所有的产品均可销售出去。已知玩具A的单位产品利润随着销量的增加而减少，其规律是单位产品利润为100－0.5x(元)。该玩具每月单位产品的原材料消耗量为1单位，对人工的需求量为2单位。已知该厂下月可提供的原材料为200单位，可提供的人工为350单位。问该厂下月应如何安排生产，才能使总利润最大?案例分析：设下月玩具的产量为x(个)，因此有下月的利润为：(100—0.5x)x＝100x一0.5x2下月玩具消耗的原材料为：x下月玩具需要的人工为：2x由此得到本问题的模型如下：O.b．max100x一0．5x2s．t．x≤2002x≤350x≥0上述问题中，目标函数(利润)为决策变量(产量x)的非线性函数，所以本规划问题为非线性规划问题。用Spreadsheet求解此题的步骤如下：第一步：输入已知数据首先在Excel的工作表上输入已知数据。在单元格D4：E4中输入目标函数的系数，在单元格D6：D7中分别输入单位产品消耗的原材料和人工，在单元格G6：G7中分别输入原材料和人工的可提供量。第二步：建立非线性规划模型在Spreadsheet上描述规划的决策变量、目标函数与约束条件。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书8本问题的决策变量是下月的计划生产量，在Spreadsheet上用单元格D9表示该决策变量。本问题的目标函数是下月总利润最大。用单元格D11表示总利润。它等于单位产品的利润与产量的乘积，其中单位产品的利润等于100x一o.5x2，所以，在单元格D11中输入：＝D4*D9—E4*D9*D9本问题共有三个约束条件。第一个约束是原材料约束，即所消耗的原材料不得超过原材料的可提供量，用单元格E6表示该约束条件的左边，即所消耗的原材料，它应等于单位产品消耗的原材料与产量的乘积，所以在单元格E6中输入：＝D6*$D$9第二个约束是人工约束，即所需要的人工数不得超过可提供的人工数，用单元格E7表示该约束条件的左边，即所需要的人工，它应等于单位产品需要的人工数与产量的乘积，所以在单元格E7中输入：＝D7*$D$9第三个约束是非负约束，该约束将在下一步规划求解时输入。第三步：利用“规划求解”功能求出非线性规划的最优解；在规划求解参数框中输入目标单元格(目标函数地址)、可变单元格(决策变量地址)和约束条件。其规划求解参数框如下图所示。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书9然后在规划求解选项参数框中选择“假定非负”(注意：本问题是非线性规划问题，所以不选择“采用线性模型”)，最后在规划求解参数对话框中单击“求解”得到本问题的最优解,如下页图所示。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书10敏感性报告如下图所示。东北财经大学管理科学专业“运筹学”课程案例、实验教学指导说明书11第四部分整数规划案例：乐天保健仪器厂的生产优化问题乐天保健仪器厂下月拟生产两种保健仪器A和B，生产该两种仪器的利润、消耗的主要原材料和劳动力如表5．1．1所示。该厂下月可提供的原材料和劳动力分别为2000(千克)和140(千小时)。另根据市场调查，下月对仪器A的需求量不大于5台。为获得最大的总利润，该厂应生产这两种仪器各多少台?乐天保健仪器厂生产利润与消耗资源表案例分析：据题意，本问题的决策变量是下月两种仪器的生产量，设下月仪器A与B的生产量分别为X(台)与y(台)。本问题的目标函数是总利润最大，由于生产每台仪器A与仪器B的利润分别为10与15千元，所以总利润为：lOX+15Y本问题的约束条件有四个。第一个约束是原材料约束，即所消耗的原材料总量不得超过原材料的可提供量；第二个约束是劳动力约束，即所需劳动力的总量不得超过劳动力的可提供量；第三个约束