九年级数学圆单元知识点总结及习题练习教师版

九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；rddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，EDCBANMAOPBAOPODCBAOEDCBA∴2CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴2PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点∴12OO垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtOOC中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhrDECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBA（2）圆柱的体积：2Vrh（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vrh九年级数学第二十四章圆测试题（A）时间：45分钟分数：100分一、选择题（每小题3分，共33分）1．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为10，最小距离为4则此圆的半径为（）A．14B．6C．14或6D．7或32．如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．83．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．80°C．160°D．120°4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（）B1RrCBAO图24—A—5图24—A—1图24—A—2图24—A—3图24—A—4A．26mB．26mC．212mD．212m9．如图24—A—6，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A．16πB．36πC．52πD．81π10．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（）A．310B．512C．2D．311．如图24—A—7，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（）A．D点B．E点C．F点D．G点二、填空题（每小题3分，共30分）12．如图24—A—8，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O于点C，则∠AOC=。13．如图24—A—9，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50゜，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为。14．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O外一点，OP长为3，那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为。15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是。16．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为cm。17．如图24—A—10，半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB裁成1：3两部分，用得到的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为。18．在Rt△ABC中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C为圆心，R为半径作圆与斜边AB相切，则R的值为。19．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为。20．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，那么扇形的半径为。21．如图24—A—11，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为cm。图24—A—6图24—A—7图24—A—8图24—A—9图24—A—10图24—A—11三、作图题（7分）22．如图24—A—12，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm.⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的底面积.四．解答题（23小题8分、24小题10分，25小题12分，共30分）23．如图24—A—13，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD。24．如图24—A—14，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，BC的长为cm38，求线段AB的长。25．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。（1）如图24—A—15，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③。（2）如图24—A—16，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。⌒图24—A—13图24—A—12图24—A—14图24—A—15图24—A—16第二十四章圆（A）一、选择题1．D2．D3．C4．C5．B6．D7．D8．B9．B10．A11．A二、填空题12．30゜13．65゜或115゜14．1或515．15π16．2417．2321或18．136019．820．2或821．3三、作图题22．（1）提示：作∠AOB的角平分线，延长成为直线即可；（2）∵扇形的弧长为)(41806120cm，∴底面的半径为cm224，∴圆锥的底面积为42cm。23．证明：∵AD=BC，∴AD=BC，∴AD+BD=BC+BD，即AB=CD，∴AB=CD。24．解：设∠AOC=n，∵BC的长为cm38，∴180838n，解得60n。∵AC为⊙O的切线，∴△AOC为直角三角形，∴OA=2OC=16cm，∴AB=OA-OB=8cm。25．（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。（2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE