高数第九章(2)偏微分

第二节机动目录上页下页返回结束一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是),(txu0xoxu中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,),(0txu关于t的机动目录上页下页返回结束将振幅定义1.),(yxfz在点存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00x则称此极限为函数极限设函数)(0xf)()(00xfxxfx0limxx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf机动目录上页下页返回结束xyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx注意:同样可定义对y的偏导数lim0y),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为yy00y机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,,,,yzyfyz例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.xxx?),,(zyxfy?),,(zyxfzx机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线yxz0xyToxT0y0M机动目录上页下页返回结束对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz00注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz机动目录上页下页返回结束例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.求的偏导数.(P65例4)解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr机动目录上页下页返回结束偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动目录上页下页返回结束数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(yyxznn1机动目录上页下页返回结束偏导数为例5.证明函数满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动目录上页下页返回结束yxe22例6.求函数yxez2.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz222yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022yx0,222222yxyxyxyx0,022yx机动目录上页下页返回结束,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明目录上页下页返回结束定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束思考与练习解答提示:P130题5，时当022yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfyP130题5,6222222)()(yxyxx即x＝y＝0时,机动目录上页下页返回结束P130题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln机动目录上页下页返回结束作业P691；3；6；8；第三节目录上页下页返回结束备用题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:机动目录上页下页返回结束