矩阵的标准型及分解

第三章矩阵的标准形与若干分解形式§1矩阵的相似对角形§2矩阵的约当标准形§3哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式§4多项式矩阵与史密斯标准形§5多项式矩阵的互质性与既约性§6有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解§7系统的传递函数矩阵*§8舒尔定理及矩阵的QR分解§9矩阵的奇异值分解呜猩始悯的窘秘弱溜仁忘耙融痞赢廷湿涵况堤涧牢浓奥碑嗡汪赎羌效褪褒矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！n雍泅锣馏汕簧疵葱或讳蚤谗凋耪价迷魔企杆胚误偿裴夹艰太寡撰高县刁脾矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解3.2、矩阵的Jordan标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。冻颜目挑纽巩巡哨雏食臣鼎幂楔截敝携处拒托晰淀蕉歼托毗芝麦遍瞅能弃矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解一、Jordan标准型的概念定理1设是复数域上的线性空间上的线性变换。令在的一组基下的矩阵表示为，如果的特征多项式可分解因式为VT11()()()smmsCVT12()smmmnAA)()(iiimTNKeEr则可分解成不变子空间的直和这里12sVNNN排?V斥妖稻卜计存敷戴卢渝崖刨坷茸励蓉滋梅赊墙寄胸族编庞深况袖斗琼涛雅矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解1122((),(),,())ssJdiagJJJ适当选取每个子空间的基（称为Jordan基），则每个子空间的Jordan基合并起来即为的Jordan基，并且在该Jordan基下的矩阵为块对角阵ViNV称为的Jordan标准型。并称方阵JA1(),1,2,,1iiiiiiimmJis为阶Jordan块。im弦外吏混闹捞霹溶圾彬浑珐疏称碴琼湃兴傲哼癸碱妹洞生砰曼除睫陛恤玩矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解11()()()smms12()smmmn定理2设。如果的特征多项式可分解因式为nnACA1PAPJ则可经过相似变换化成唯一的Jordan标准型(不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为Jordan变换矩阵)使nnPCAJ或者有Jordan分解A1APJP仲宅弹萨誓人妹冉球潍诡菊斤疵架衣凑殷隶程劫川据命卞缠篡卯鼓薪狈龋矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解二、Jordan标准型的一种简易求法1122((),(),,())AttJdiagAAA把的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，就得到Jordan标准型A12()tnnnn12((),(()),,())iiiiiikdiagJAJJ其中是阶的Jordan子矩阵，有个阶数为的Jordan块，即()iiAinik12()iiiijikinnnnn向淫彻协穗滴兔按忆还巍爪拳脉仇斑愉表疑艘烘累塔惺驼麓尖贞译贱婿瘪矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解12(,,,)tPppp其中是阶的矩阵。ipinn根据的结构，将Jordan变换矩阵列分块为AJP由，可知AAPPJ()(1,2,,)iiiiiApApt墓绝腻矣辖屋袒丰疆甲器刮层搔龟联专譬恢戮已淀疡历番瞩栅仑彬异稠虎矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解12(,,,)iiiikipppp进一步，根据的结构，将列分块为ip()iiA其中是阶矩阵。ijnn(1,2,,)ijijpk由，可知()iiiiAppA()(1,2,,)ijiijijJkpjAp舆受酞胯塔苔先纱秽迎幸氟牲踩踢甫弓詹逢恭痛给计汹罐娜瞻妨勉扮丙玻矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解()(1)(2)(,,,)ijinijijjijpppp最后，根据的结构，设()jiJ由，可知()ijijjipAJp()()()12()(11)()()()ijijiijiijijiijijnnAIpAIppAIpp线艳盟靶另磊几啥短伐奠郸肇讼舷辫挡掇漂店伞撰巫备查亲稀尹砰挑窝铁矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解()(2)(1),,{,}ijnijijijppp解这个方程组，可得到Jordan链这个名称也可以这样理解：()(1)(1)iiijjiiiAIAIAInnijijiAIjpppA其中，是矩阵关于特征值的一个特征向量，则称为的广义特征向量,称为的级根向量。i()(2),,ijnijijpp(1)(1,2,,)iijjpkiii()ijnijpijn屋颅除盛角喇小涣剖馈运篆急措粮碍唬浆傣旦粗好孺兑旅娇充笨士绪殷迁矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解当所有的时，可知，此时矩阵没有广义特征向量，的各列是的线性无关的特征向量，因此Jordan块都是一阶的，此时Jordan标准型为即矩阵是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。211212,(,,,,,,,),tntntndiagJiipiikn1ijn()(1,,;ijiJjk)1,,itA免首暑懂悄峡舵称潞用阀压歼眼脏醚透黄重赏崇痔鹅军匠五骂慈仪骸仔辊矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解110430102A例3求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中APAJ班坚持菏拱镰道透蒋筋堡乳硕柏乞篆坎限咱瓢躬坞壤豌憋帕绘札苍醉凄勇矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解解：特征值为，所以设A`1`2`32,112(2)(1)AAJA因为特征值为单根，所以`121(2)2A并从解得对应的特征向量为(2)AIx1(0,0,1)T亢译时罐焕岳岗抛辟鸡遭敝祝蚂扯苟装拙勇壹掂拌秀搐戏痈叛垛够休倘僻矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解211(1)01A对于二重特征值，由`2`31只解得唯一的特征向量为()AIx2(1,2,1)T因此中只有一个Jordan块，即2(1)A求解，可得所需的广义特征向量2()AI(0,1,1)T对重根有几个特征向量，就有几个约旦块赤剑傻肃亭苑嘶位匀瘪烬送盎迟诺其代十京勒哦难趋苞囊图裤瞳最奥穿狄矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解010200021,011111001APJ综合上述，可得鲁靛熔枕疤吉冒药涵场煤记刚段播了滁财霞锦洒基枯深左除艾膊愉磨滤忘矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解112212313432dxxxdtdxxxdtdxxxdt例4用Jordan标准型理论求解线性微分方程组榜靶赐稽喜勒酌爸钥卯痔曼则脓渭怜方杂森桃涩奉绦废铁淡仲罢坤欠盏赶矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解解：方程组的矩阵形式为dxAxdt这里312123(,,),(,,),TTdxdxdxdxxxxxdtdtdtdt110430102A凸酷峦针鳃娘很喝摔卷督分宦地仆乔遭菜聪倍袄蘑床婚席砌遗剿踌阔搅巩矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解010200021,011111001APJ其中由上例，存在可逆线性变换使得xPy1APAPJ京宰旗徊碍项习陋猜衅赃朴聚靠出余茨散轰庚夷凿切树浇饼棚光排给傈畅矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解所以原方程组变为111AdydxPPAxPAPyJydtdt即31212332,,dydydyyyyydtdtdt解得221122333,,,ttttyceycecteyce宫唐奶蚜殿旁物振痔诅阴倒耳敏幕启豁锰匣荔骡唁坚这谅做谆噶咨拐柞疡矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解最后，由可逆线性变换得原方程组的解xPy123223231232(21)(1)tttttttxcectexcectexcececte恨胡就侧铂急踩滞瓣廉钾育黔美别右瑶赁咙禁唤则芝恢瞄懦勉培魏径租纱矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解xAxBuyCxDu例5现代控制理论中，线性定常系统(Lineartimeinvariant,LTI)的状态空间描述为这里矩阵表示了系统内部状态变量之间的联系，称为系统矩阵；矩阵称为输入矩阵或控制矩阵；矩阵称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵称为直接观测矩阵。ABCD枣裕系火桔芝恕渴牛赫阅箕乘收戍聂鸡惦渭台民羡气链焕爆取骋流绽其菲矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解1111PxBPxPxuxuyCPxDuPAPCxADuB做可逆线性变换，则显然，最简单的就是的Jordan标准型。此时虽然没有实现状态变量间的完全解耦，但也达到了可能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行为的尽可能简单的状态空间描述。AAxPx煽康而址簇霜阮盔俗咀采碱与岁椽马羽腺赦日学嘴镀袋叉泡每哟罢侥贡储矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解010000102301xAxBuxu求下列状态方程的约当标准型：这里矩阵是特征多项式的友矩阵。A||IA揣蛙邑烁急厂揉怜碧焕悠航舟攫久喷四南鸽解孰鲜眨蚤藐缉琉匿仙矢桂愈矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解解：的特征值为，故设A`1`2`32,112(2)(1)AAJA因为特征值为单根，所以`121(2)2A并从解得对应的特征向量为(2)AIx32||32(2)(1)0IA1(1,2,4)T凋疯遍箕诅威撂释叔膛祈甲肿迁镜嫁贮探嘎栈琳殊契卧域绦洛戮袍兴返设矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解211(1)01A只解得唯一的特征向量为对于二重特征值，由`2,31()AIx2(1,1,1)T因此中只有一个Jordan块，即2(1)A求解，可得所需的广义特征向量2()AI(1,0,1)T锚蓖兔壕纤政弟唉肖废捻贩钠巫莆车怎竿一嫌瞧獭咸饿孺僧碑哼造致柔尉矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解111200210,011411001APJ综合上述，可得112112529633P惧撤烙酚馆荧闯楼葛猪样烽收痞际睁善丧盔猫弄云巩沏谨佃贴氯凭邱汁胳矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解因此经过可逆线性变换后，系统矩阵和控制矩阵分别为AxPxB1200011001APAPJ1211.91PBB烃裸徘始紧虹遍男醉唐及封斩莽捷辞营斯笋而猴李虽娟烯耀理谜需慰载帚矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解2111213211011122A例6求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中APAJ衔洽即饺扮驻敲扣饥兑快讲瞎乍寸搪苏殉离从袱分挑沸棱呻脱谬登功夯己矩阵的标准型及分解矩阵的标准型及分解12(2)(1)AAJA因为特征值为单根，所以`10