《近世代数》

§1.1-§1.6目的与要求:◆掌握集合及相关概念．◆掌握映射的定义及相关概念,学会验证映射的合理性．◆熟练掌握代数运算的概念并会验证.◆掌握结合律,交换律,分配律的概念及其性质.第一章基本概念1.集合：集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些描述性的解释.所谓集合就是具有一定属性的事物组成的整体(或集体).通常用英文大写字母A,B,C，…等表示.一、概念•集合中的元素具有:2.元素（或元）:组成一个集合的事物.如果a是集合A中的元素，记作；如果a不是集合A的元素，记作或.•几个常用的数集：N(自然数集)，Z(整数集),Q(有理数集)，R(实数集),C(复数集).确定性;互异性;无序性.AaAaAa4．子集：设A,B是集合，则(B是A的子集)是指真子集：B是A的真子集是指且，但.幂集：集合S的幂集是指由S的全体子集组成的集合，记作.AB.AbBbABAaBa2()()SPSS或或5．集合的表示方法表示一个集合的方法通常有很多，如•列举法：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来.•描述法：用其中元素所具有的特性来刻画.•图表法：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素.3．空集：没有元素的集合，记作.AB.BA6.集合的分类：集合的分类有很多种，常见的有（1）有限集（2）可数集（3）无序集等等.无限集；不可数集；有序集二、集合的运算补集就是特殊的差，即取A为全集．•交：{且}．BAAxx|Bx•并：＝{或}．Axx|BABx•差：{且}．\ABAxx|Bx即由一切从里顺序取出元素组成的元素组，组成的集合．12,,,nAAA12(,,)naaaiiAa例A={1,2,3}，B={4,5},则nAAA21}.),,{(21iinAaaaa•积：设是n个集合，则集合的积(Descartes积)定义为：nAAA,,21nAAA,,21={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}，BA={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}．AB(3)一般情形，将A换成集合的积，则对有nAAA...21nnAAAaaa...),...,,(2121121212:...;(,,...,)(,,...,).nnnAAABaaabaaa注:(1)映射定义中“b”的唯一性：映射不能“一对多”，但可以“多对一”．(2)记法：：，．;()ABabaAa定义1.2.1设A,B是两个集合．A到B的一个映射是指有一个对应法则，使得对于，存在唯一的元素通过与之对应.有时也称对应法则是A到B的一个映射，其中b称为a在映射下的像，记为b=(a)，a称为b在映射下的一个逆像(原像).A称为的定义域，B称为的值域.AaBb§1.2映射例2设则不是映射.因为映射要满足每一个元都要有一个像．而是一个映射．}{}{}{21高，低，南，东，西BAA112:;(,AAB西南）高),(21aa212:;(,(,AAB西南）高；东南）低例1设集合,对定义则是一个到B的映射．RBAAAn...21nnAAAaaa...),...,,(21212212121:...;(,,...,)...,nnnAAABaaabaanAAA...21,1例3设A1=B=Z，则其中,不是一个映射，这是因为当时，b=此时1在下的像就不唯一．,1:;,1aaRRaba当时当时，12b12b例4设(正整数集)，则：不是一个映射．因为时，．1ABZ1a(1)0ZZa,aa;ZZ1例5设为正整数集．定义则.11:;1(),aaa，ZZZ022:;(),.ZZaaaaZ12ABZ定义1.2.2设是A到B的两个映射，若对，有则称与是相等的,记作.12,Aa12()(),aa1122注:映射相等构成映射的三要素（值域、定义域、对应法则）全相同．§1.3代数运算定义1.3.1设A,B,D是三个非空集合.从到D的映射叫做一个到D的二元代数运算；当A=B=D时,从到A的映射简称A上的代数运算或二元运算.一个代数运算可以用表示，并将(a,b)在运算下的像记作.BABAAAba注:（１）是A上的代数运算，.Aba,Aba（２）当A,B是有限集时，到D的代数运算通常可以用一个矩形表（即运算表）给出.BA例设A={}，B={}，则到D的一个代数运算()可表示为此表也称为凯莱运算表.naaa,,21mbbb21,,ijijijabddD1b2bmb1a2ana11d12dmd121d22dmd21nd2ndnmdBA§1.4结合律定义1.4.1设是集合A的一个代数运算.如果对任意有,则称代数运算适合结合律，并且将运算结果统一记成．对于A中n个元，当元素的排列顺序不变时(如按下标的自然顺序)，可以有种不同的加括号方法.它们的计算结果未必相同.不妨用，来表示这些加括号的不同方法.Acba，，)()(cbacbacbanaaa21,Nnnn)!1(!)!22()(21niaaaNi,...2,1定理1.4.1设集合A的一个代数运算适合结合律，则对任意,所有的都相等，其结果统一记为.12,,(2)naaaAn，，12()inaaanaaa21§1.5交换律定义1.5.1设是到的代数运算。如果有成立，则称运算满足交换律.D，，AbaabbaAA定理1.5.1假设一个集合A的代数运算同时适合结合律与交换律,那么在中，元素的次序可以调换.naaa21例判定下列有理数集Q上的代数运算是否适合结合律，交换律？(1)(适合结合律和交换律)(2)(适合交换律，但不适合结合律)(3)(适合结合律，但不适合交换律)(4)(既不适合结合律，也不适合交换律)abbaba2)(babaaba3bba§1.6分配律定义1.6.1设⊙是到的一个代数运算，是上的一个二元代数运算.若对都有⊙()=(⊙)(⊙)成立，则称⊙，适合第一分配律(左分配律).ABAABbAaa,21，21aabb2a1ab定理1.6.1假设适合结合律，且⊙，适合第一分配律，则对有⊙()=(⊙)(⊙)…(⊙).BbAaaan,,,21naaa21bbna2a1abb定义1.6.2设⊙是到的一个代数运算，是上的一个二元代数运算.若对都有()⊙=(⊙)(⊙)成立，则称⊙，适合第二分配律(右分配律).ABAABbAaa,21，21aabbb2a1ab定理1.6.2假设适合结合律，且⊙，适合第二分配律,则有()⊙=(⊙)(⊙)…(⊙).BbAaaan,,,21naaa21bbb1a2ana§1.7-§1.9目的与要求:◆熟练掌握单射,满射以及一一映射的概念以及之间的联系◆熟练掌握同态的概念及其性质并会验证.◆掌握同构与自同构的概念及性质..◆掌握等价关系与集合的分类的概念以及它们之间的联系并会确定.定义1.7.1设是集合到的一个映射.若对，当时，有，则称是到的一个单射；若对，使得，则称是到的一个满射；若既是满射又是单射，则称是到的一个一一映射.AAAba,ba()()abAAAaAa()aaAAAA定理1.7.1设是到间的一一映射，则存在一个到间的一一映射.AA1AA注:一一映射与同时存在.1定义1.7.2集合到的一个映射叫做的一个变换.AAA小结为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一一映射和变换的概念.注:变换是到自身的一个映射.AA返回(1)如果是单射，则称是单射变换；:AA(2)如果是满射，则称是满射变换;:AA(3)如果是一一映射，则称是一一变换.:AA定义1.8.1设,分别是集合的代数运算，是一个映射,若，有,则称是到的一个同态.:AAAba,()()()ababAA§1.8同态21例1A=Z(整数集)，是普通加法；={1,-1}，是普通乘法.则(1)；是一个同态映射;(2)；是满的同态映射;(3)；是映射但不是同态.A1:1a2:1,1,aaaa若是偶数；若是奇数3:1a3定义1.8.2设，分别是集合的代数运算，若是一个单射(满射)的同态映射，则称是一个同态单射(满射).特别地，当是一个同态满射时，对于，来说称与同态.AA,AA定理1.8.1设对于代数运算，来说，与同态，则(i)若适合结合律，也适合结合律；(ii)若适合交换律，也适合交换律.AA定理1.8.2假定⊙,是的代数运算，⊙，是的代数运算，且存在满射，使得与对于代数运算⊙,⊙是同态，对于代数运算,也是同态，则(i)若⊙,适合第一分配律，⊙，也适合第一分配律;(ii)若⊙,适合第二分配律，⊙，也适合第二分配律.:AAAA§1.9同构，自同构定义1.9.1(1)设与分别是集合与的代数运算.若是到的一一映射且是同态映射，则称是到的一个同构映射.AAAA定义1.9.2设是集合的代数运算.若是到的一个同构映射(同态映射)，则称是的一个自同构(自同态).AAAA小结同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来比较两个代数结构的工具.在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的.返回(2)若在与间，对代数运算与，存在一个同构映射，则称对代数运算与来说，与同构记作.AAAAAA§1.10等价关系与集合的分类定义1.10.1设是集合，.一个到的映射叫做的元间一个关系.如果，则说与符合关系记作；如果，则说与不符合关系.A对，错DAADRA对),(baRabRaRb错),(baRabR定义1.10.2集合的元间一个关系~叫做一个等价关系，如果~满足以下规律：(1)(自反性)；(2)(对称性)；(3)(传递性),.若，则称与等价.~aaaA，~~,abbaabA，cacbba~~~，,,abcAba~ab事实上，的元素间的一个关系就是的一个子集．若，则说与有关系，记作；若，则说与没有关系，记作．AAAR(,)abRabRaRb(,)abRabRaRb注:类里任何一个元素称为这个类的一个代表.刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.定义1.10.3设一个集合分成若干个非空子集，使得中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体称为的一个分类.其中每一个子集称为一个类.AAA例1设为实数集.;是上的“”关系.;是上的“=”关系，这是一个等价关系.0),(abba错，若babaR对，若),(:2baba错，若),(0),(:1abbaR对，若定理1.10.1集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系.定理1.10.2集合A的一个等价关系~决定A的一个分类.此时将该分类的全体代表团集记为A/~.小结我们讨论了集合的元之间的等价关系与集合的分类(即拆分成非空子集合的无交并)之间的关系.这对研究代数结构是非常有用的,在今后的学习中将会看到.返回例2A=Z(整数集)，Z(自然数集).规定这是一个等价关系.此等价关系决定A的一个分类，称为模n的剩余类.全体剩余类之集记为Z/nZ或Zn,其元素为:,,···,.通常用来作为这个类的全体代表团.)0(n)(|banaRb},2,,0,,2,{]0[nnnn},12,1,1,1,12,{]1[nnnn},13,12,1,1,1,{]1[nnnnn0,1,,1n