近世代数教学PPT

《近世代数》课程是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。同学应当具备有初等代数，高等代数的背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。近世代数高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。主要参考书1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ卷，科学出版社，1964年版2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学出版社，1987年出版3.近世代数基础，张禾瑞，高等教育出版，1978年修订本。4．刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社，1999年出版5．石生明著：近世代数初步、高等教育出版社，2002年出版6.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社，1979。7.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社，1982。8.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学出版社，1990年。近世代数理论的三个来源(1)代数方程的解(2)Hamilton四元数的发(3)Kummer理想数的发现（1）代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+bx+c=0。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ArsMagna）中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。直到1824年一位年青的挪威数学家N.Abel(1802-1829)才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。加罗华阿贝尔被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。(2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。（3）Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马(P.Fermat1601-1665）研究整数方程时发现当n≥3时，方程xn+yn=zn没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么xn+yn=zn的等式两边可以作因子分解zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1,y1,z1使xn+yn=zn成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。用这种方法Kummer证明了n≤100时费马大定理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.LvanderWearden1930-1996）根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果,编著了《近世代数学》(ModerneAlgebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。诺特,1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的整环的理想理论是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。第一章基本概念§1集合§2映射与变换§3代数运算§4运算率§5同态与同构§6等价关系与集合的分类§1集合表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”.组成集合的东西叫这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作；AaaA例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，而.3A一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如，学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合；全体实数的集合.不含任何元素的集合叫空集.表示为：Ø枚举法:例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合表示成：.前五个正整数的集合就可以记作.naaa,,,21naaa,,,215,4,3,2,1拟枚举：自然数的集合可以记作,拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合,像自然数、整数….........5,4,3,2,1n描述法:如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号具有某一性质x|{xA来表示.表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.{|11,}AxxxR常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作，或记作.根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当对于每一个元素x，如果，就有.BAABAxBxA是B的子集，记作：()(:)ABxxAxB如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B.即()(:)ABxxAxB以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记为P(A).AA=AA=2n如果集合包含无限多个元素，则记为；如果包含ｎ个元素，则记为ｎ，此时P(A)并运算设A，B是两个集合.由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作.如图1所示.BAAB()()xABxAxB或()()xABxAxB且BA交运算由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作：，如图2所示.BABA显然，ABABBA，例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则}4,3,2{BA我们有()()xABxAxB且()()xABxAxB或运算性质:交换律:ABBAABBA;分配律:CABACBACABACBA结合律:()()ABCABC)()(CBACBA;幂等率:AAAAAA;两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设是给定的集合.由的一切元素所成的集合叫做的并；由的一切公共元素所成的集合叫做的交.的并和交分别记为：和.我们有nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA,,,21nAAA21nAAA2112()(,1,2,,)ixAAAxAin至少属于某一12()(,1,2,,)ixAAAxAin属于每一差运算：设A，B是两个集合，令}|{BxAxxBA但也就是说，是由一切属于A但不属于B的元素所组成的，称为A与B的差.BA注意：并没有要求B是A的子集.例如，ØQC积运算：设A，B是两个集合，令称为A与B的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（a,b）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.可以定义多个集合的笛卡儿积},|),{(BbAabaBABA§2映射与变换定义1设A，B是两个非空的集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素x，有集合B中一个惟一确定的元素y与它对应.用字母f，g，…表示映射.用记号表示f是A到B的一个映射.BAf:如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作yxf:这时y叫做x在f之下的象，记作.)(xf例1设这是A到B的一个映射.}4,3,2,1{BA14,43,32,21:f例2设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合.对于每一，令与它对应.f不是A到B的映射，因为当时，不能由x唯一确定.Axxxf)(0x)(xf定义2设f是A到B的一个映射，如果Imf=B，那