近世代数

（A卷）第1页共4页1近世代数一、选择题1.下列代数系统(,)G中，其中是普通加法运算，（）不是群。A.自然数集B.偶数集C.有理数集合D.整数集2.在4次对称群4S中，以下不是轮换(1423)逆元的元素是（）A.(1324)B.(2143)C.(3241)D.(4132)3.设G是群，若G有（）元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个4．在整数集上定义的二元运算，满足结合律的是（）A.ababB.2ababC.ababD.max(,)abab5.设21:RRf是环同态满射，那么下列错误的结论为（）A.若1R是交换环，则2R是交换环B.若1R是无零因子环，则2R是无零因子环C.若1R是含单位元的环，则2R是含单位元的环D.以上结论至少有一条是错误的。6.设3S＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在3S中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(12)，(13)，(23)B、(1)，(123)，(132)C、(1)，(123)D、3S中的所有元素7.设21:GGf是一个群同态满射，那么下列命题错误的是（）A.1G的子群的象是2G的子群；B.2G的正规子群的逆象是1G的子群；C.1G的子群的象是2G的正规子群；D.1G的正规子群的象是2G的正规子群。8．设S是R的子环，那么下列错误的结论为（）A.若R是交换环，则S是交换环B.若R是无零因子环，则S是无零因子环（A卷）第2页共4页2C.若R是含单位元的环，则S是含单位元的环D.以上结论至少有一条是错误的。9.以下环中，可能包含零因子的是（）A.整环B.除环C.域D.商环10.以下剩余类环中，（）是无零因子环.A.8ZB.9ZC.10ZD.11Z二、填空题1.设a是15阶群的生成元，则5a是______阶元素.2.设)6(1I，)15(2I是整数环的理想，那么12II__3.在置换群中，1123456231564__（把结果表示成不相交的轮换乘积）4.设F是域，其元素个数为9，则F的特征是__5.若R是有单位元的交换环,aR，则主理想a____________.三、证明阶是素数的群一定是循环群.四、设G是群，证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群.五、设G是一个群，aG，a的阶是m，证明mn的充要条件是ean.六、已知Z是整数环，证明(3,7)(1).七．设R为环，证明R的中心{,}RrRrxxrxRC是R的子环.（A卷）第3页共4页3近世代数一、选择题1.A2.B3.C4.D5.B6.B7.C8.C9.D10.D二、填空题1.32.(30)3.321)(6544.35.aR三．证：设G为阶是素数p的群，则G至少有两个元，故aG，a的阶大于1.因为a的阶必整除p，故a的阶为p.于是循环群()a的阶是p.因为G的阶也是p，且()aG，故G=（a）是循环群.四.证明：设该群的任意两个元素为,ab，有()()()abbaabbaaae()()ababe由逆元的唯一性，可得abba所以命题成立。五．证：（）设nm，则n=mk，于是an=eeakkm（）设an=e，且n=mk+r(0rm)∵am=e∴()nmkrkrraaaeaae而m是a的阶，且rm（A卷）第4页共4页4∴r=0故nm六．证：显然有3,7(1)，则(3,7)(1)而1733，故1(3,7)，所以(1)(3,7)综上所述，有(3,7)(1)七．证明：对任意，有，所以0RC，故RC又对任意，，所以，，从而RC为的子环.