二维随机变量及其分布函数

定义设随机试验E的基本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，由它们构成的向量(X，Y)叫做二维随机变量．第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量(X，Y)可以看作是xoy面上的随机点，它们的取值是xoy面上的一个定点（x，y）．(X，Y)可能落在xoy面上的有限个点处，也可能落在xoy面上某个区域内的所有点上．我们把二维随机变量分成离散型和连续型两类．yxo),(yx定义设(X，Y)为二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数.．},{),(yYxXPyxF注：1°规定{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x}与{Y≤y}的积事件．2°分布函数F(x，y)在点(x，y)处的值，就是（X，Y）的取值落在矩形－∞＜X≤x,－∞＜Y≤y上的概率．二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)具有性质：1°0≤F(x，y)，且对任意x，y有.2°F(x，y)是变量x和y的单调不减函数．3°F(x，y)关于x右连续，关于y也右连续4°(X，Y)落在矩形区域x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2上的概率为.,0),(,0),(xFyF1),(,0),(FF),(),(),(),(},{111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPyxo2y1y1x2x定义若二维随机变量(X，Y)所有可能取的值是有限对或可列无穷多对，则称(X，Y)为二维离散型随机变量．设二维离散型随机变量(X，Y)所有可能取值为记（*）且有则称（*）式为(X，Y)的概率分布或X与Y的联合分布律．,2,1,,2,1),,(jiyxji,2,1,},{jiyYxXPpjiijjiijijpp,1,0二、二维离散型随机变量Yy1y2y3...Xx1p11p12p13...x2p21p22p23...x3p31p32p33...............例1设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定义两个随机变量如下X表示骰子出现的点数.试求X与Y的联合分布律．.,2,,1当出现偶数点时当出现奇数点时Y解(X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．,61161}1|1{}1{}1,1{11XYPXPYXPp,061}1|2{}1{}2,1{12XYPXPYXPp同理,616251423122ppppp06152413221pppppYX1211/60201/631/60401/651/60601/6二维离散型随机变量(X，Y)的分布函数为.yyxxijjipyxF),(三、二维连续型随机变量定义设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使对任意x,y有．则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的联合概率密度．xyyxyxfyxFdd),(),(xyvuvufdd),(0),(yxf1dd),(yxyxf性质1．性质2.性质3在f(x,y)的连续点处有．性质4设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概率为．yxyxFyxf),(),(2GyxyxfGYXPdd),(}),{(例2设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（1）求k；（2）求分布函数F(x,y)；（3）求P{X＞Y}．.,0,0,0,),()32(其它yxkeyxfyx解（1）由．而1dd),(yxyxf00)32(dddd),(yxkeyxyxfyx6dd0302kyexekyx则有k=6．（2）当x＞0，y＞0时．对于其它点(x，y)，由于f(x,y)=0，则F(x,y)=0．于是xyyxxyyxeyxyxfyxF00)32(dd6dd),(),()1)(1(32yxee.,0,0,0),1)(1(),(32其它yxeeyxFyxyxo1G（3）以G表示区域{(x,y)|x＞y}，则有}),{(}{GYXPYXPGGyxyxfyxyxf1dd),(dd),(53d6d0)32(0yexxyx四、均匀分布和正态分布1．均匀分布设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(X，Y)具有概率密度则称(X，Y)在区域D上服从均匀分布．.,0,),(,1),(其它DyxSyxf例3设二维随机变量(X，Y)在上服从均匀分布，求：（1）(X，Y)的概率密度；（2）．}10,0|),{(xxyyxD430,4321YXP解（1）如图，区域D的面积为，因此(X，Y)的密度为21S.,0,),(,2),(其它Dyxyxf43yxo1G2G21431（2）记区域，,430,4321),(yxyxG4321,0),(1xxyyxG4321,43),(2xyxyxG．则有．}),{(430,4321GYXPYXP165dd0dd2dd),(21GGGyxyxyxyxf2．正态分布设二维随机变量(X，Y)的概率密度为，222221212112)())((2)()1(21221121),(yyxxeyxfyx,其中均为常数，且，则称(X，Y)服从参数为的二维正态分布，记作(X，Y)~．,,,,212111,0,021,,,,2121),,,,(222121N例4设二维随机变量(X，Y)的概率密度为，求．yxeyxfyx,,21),()(212222}|),{(222yxyxG}){}(),{(222YXPGYXP解．GyxyxfGYXPdd),(}),{(rreyxeryxGdθd21dd2102202)(21222222211e第二节边缘分布一、二维随机变量(X，Y)的边缘分布函数设(X，Y)的分布函数为F(x，y)，关于X的边缘分布函数为．关于Y的边缘分布函数为．),(},{}{)(xFYxXPxXPxFX),(limyxFy),(lim),()(yxFyFyFxY二、二维离散型随机变量的边缘分布律设(X，Y)的联合分布律为，则),2,1,(},{jipyYxXPijji},{}{YxXPxXPii11},{})(,{jjijjiyYxXPyYxXP11},{jiijjjippyYxXP.),2,1(}{1ippxXPjijii即关于X的边缘分布律为，关于Y的边缘分布律为.),2,1(}{1jppyYPiijjj例1设(X，Y)的联合分布律为YX1211/60201/631/60401/651/60601/6求关于X、Y的边缘分布律．61061}1{12111pppXP解,，………,61610}2{22212pppXP61610}6{62616pppXP即关于X的边缘分布律为X123456P1/61/61/61/61/61/621061061061}1{6151413121111pppppppYP21610610610}2{6252423222122pppppppYP,,即关于Y的边缘分布律为Y12P1/21/2例2设(X，Y)的联合分布律为X1234Y的边缘分布Y11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48X的边缘分布律1/41/41/41/41X的分布律X1234P1/41/41/41/4Y的分布律X1234P25/4813/487/483/48三、二维连续型随机变量的边缘概率密度设(X，Y)的联合概率密度为f(x,y)，则关于X的边缘分布函数为，xXxyyxfxFxFdd),(),()(关于X的边缘概率密度为．)(d),()(xyyxfxfXyxo12xyxD例3设(X，Y)在由曲线y=x2与y=x围成的区域D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度．同理，关于Y的边缘概率密度为．)(d),()(yxyxfyfY解如图D的面积为.因此(X，Y)的概率密度为61d)(102xxxS.,0,),(,6),(其它Dyxyxf当0＜x＜1时，．当x≤0或x≥1时，．)(6d6d),()(22xxyyyxfxfxxX0d),()(yyxfxfX因此.,0,10),(6)(2其它xxxxfX同理.,0,10),(6)(其它yyyyfY练习1．设(X，Y)在由x=0，y=0，x+y=1围成的区域上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘分布．.,0,10),1(2)(.,0,10),1(2)(其它其它yyyfxxxfYX2．设(X，Y)~，即),,,,(222121N2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(yyxxyxf),(yx关于X、Y的边缘密度分别为即，．yeyfxexfxYxX,21)(,21)(222221212)(22)(1),(~211NX),(~222NY第四节随机变量的相互独立性定义设(X，Y)是二维随机变量，若X与Y的联合分布等于边缘分布的乘积，则称X与Y相互独立．对于二维离散型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积，即若(X，Y)的分布函数为F(x，y)，关于X、Y的边缘分布函数为FX(x)、FY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是．)()(),(yFxFyxFYX,2,1,2,1}{}{},{jiyYPxXPyYxXPjiji.对于二维连续型随机变量(X，Y)，X与Y相互独立的充要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积，即yxyfxfyxfYX)()(),(定理设随机变量X与Y相互独立，则（1）对任意常数a，b，c，d，事件与相互独立；（2）对任意常数a，b，c，d，随机变量与相互独立；（3）X2与Y2相互独立；（4）对任意连续函数h，g，随机变量与相互独立．}{bXa}{dYcbaXdcY)(Xh)(Yg例1第二节例1中的随机变量X与Y不相互独立，因为,而,,.6111p611p1111ppp211p例2设二维随机变量(X，Y)的概率密度为问X与Y是否相互独立？.,0,0,0,),()(其它yxxeyxfyx,0,0,0,d),()(xxxeyyx