用2.2.2向量减法运算及其几何意义

2.2.2向量减法运算及其几何意义路漫漫其修远兮吾将上下而求索温故知新1．在四边形ABCD中，AB→＝DC→，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形DB①②④1．相反向量[点拨]相反向量类似于实数中的相反数，它们的性质有相似之处．定义性质如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量①对于相反向量有：a＋(－a)＝0③零向量的相反向量仍是零向量②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0对相反向量的理解(1)两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件：①长度相等；②方向相反．二者缺一不可．(2)AB与BA互为相反向量，且AB＋BA＝0.练习1.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反A2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___作法在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝_____.如图所示几何意义如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的_______指向向量a的________的向量，方向指向被减向量.相反向量BA→终点终点向量减法的三角形法则可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．总结：③首尾相接为加法，尾尾相接为减法.练习1.化简AB→＋DA→－DB→－BC→－CA→的结果是________．规律方法：先将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起，进行加法运算，然后再进行其他运算.2.四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB→－AD→|＝________.练习ABCD拓展|a－b|，|a|－|b|，|a|＋|b|三者的大小关系剖析：当向量a与b共线时，(1)当两非零向量a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b|||a|＋|b|；(2)当两非零向量a与b反向时，|a－b|＝|a|＋|b||a|－|b|；(3)当a与b中至少有一个为零向量时，|a－b|＝||a|－|b||＝|a|＋|b|.题型一向量的减法运算例1化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．规律方法1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连，为和；(2)起点相同，为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练习1.化简下列各式：(1)AB－AC－DB；(2)AB＋BC－AD；(3)AB－CD－DB.题型二向量的减法及其几何意义例1如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A．AB－AD＝BDB．AD＋AB＝ACC．AB＝DCD．AD＋CB＝0A题型二向量的减法及其几何意义例2如图，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b－c.分析：利用向量加法和减法的三角形法则作图即可．OAaBbCcOAacCBb规律方法：求作两个向量的差向量时，有以下两种思路：①可以转化为向量的加法来进行,如a－b,可以先作－b,然后作a＋(－b)即可．②也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．1.如图，已知向量a、b、c不共线，求作向量①a－b＋c，②a－b－c.练习解：如图所示．练习2.已知向量a、b、c与d，如图所示，求a－b，c－d.题型三利用已知向量表示其他向量例如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA→＝a，OE→＝b，用向量a、b表示向量OB→、OC→和OD→.题型三利用已知向量表示其他向量例如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若OA→＝a，OE→＝b，用向量a、b表示向量OB→、OC→和OD→.规律总结：用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．练习1.如图所示，解答下列各题：(1)用a、d、e表示DB→；(2)用b、c表示DB→；(3)用a、b、e表示EC→；(4)用c、d表示EC→.练习2.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)AD－AB；(4)AB＋CF；(5)BF－BD.题型四向量的加、减运算及模的综合应用例已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．分析：明确a－b与a＋b的几何意义，通过解直角三角形求得结果．根据平行四边形两对角线的平方和等于各边的平方和，得12+12+22+22=22+AC2，∴AC2=6，6.AC||6.ab即规律方法：已知|a|、|b|、|a－b|、|a＋b|中的三个，求第四个，考虑平行四边形的边和对角线，利用向量的几何意义求解．规律方法1．平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋b|2＝2(|a|2＋|b|2)；(2)若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．2．高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0.一般将向量放在具体的几何图形中来解决问题，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)、正六边形等．3.点M为△ABC的BC边上的中点，则ABCM1()2AMABAC例2设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，|BC|2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1题型四向量的加、减运算及模的综合应用ABCMDC1．如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BEC．ADD．CF练习D练习2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0解：∵AD＝DB，∴AD＋BE＝DB＋BE＝DE＝FC，∴AD＋BE＋CF＝FC＋CF＝0.A练习3.如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求OD→.分析：将要表示的向量放在一个三角形中，利用三角形法则求解．