确定二面角大小的方法

确定二面角大小的方法求二面角的大小是高考的一个热点，但对学生来说又是一个难点。难在用向量的夹角公式212121nnnn，nnosc（1n、2n分别为二面角a的面、的一个法向量）算出后，不知道二面角的大小为2121nnnnarccos或-2121nnnnarccos。因为要结合图形看二面角的平面角是锐角或钝角才能确定答案。这对有些题，学生不易办到。在许多资料上遇到求二面角的大小时，只给出答案，避而不谈为什么。另外对于出“求二面角大小”的题也有局限性。因此本文介绍一个简便的方法，用于判断二面角的大小为2121nnnnarccos或-2121nnnnarccos。引理1：如果1n、2n的方向如图（1）所示，那么二面角的大小为-2121nnnnarccos。如果1n、2n的方向如图（2）所示，那么二面角的大小为2121nnnnarccos。引理1的证明比较简单，本文从略。引理2：若平面的一个法向量为n，点P在平面内，点Q在平面外，若PQn＞0，则n和PQ的方向指向平面的同侧；若PQn.＜0，则n和PQ的方向指向平面的两侧。证明：如图（3）所示，作PR=n，则PR⊥，若PQn＞0，则PQPR＞0，∴∠RPQ∈20，，∴PR和PQ的方向指向平面的同侧，即n和PQ的方向指向平面的同侧。若PQn＜0，则PQPR＜0，∴∠RPQ∈，2，∴PR和PQ的方向指向平面的两侧，即n和PQ的方向指向平面的两侧。定理：在二面角a的棱a上任取一点P，在该二面角内任取一点Q，平面、的一个法向量分别为1n、2n，若PQ1n与PQ2n同号，则二面角的大小为-2121nnnnarccos；若PQ1n与PQ2n异号，则二面角的大小为2121nnnnarccos。证明：若PQ1n与PQ2n同号，则PQ1n与PQ2n同正或同负。当PQ1n与PQ2n同正时，由引理2得PQ与1n的方向指向平面的同侧，并且PQ与2n的方向指向平面的同侧。如图（4）所示，再由引理1得二面角的大小为-2121nnnnarccos。当PQ1n与PQ2n同负时，由引理2得PQ与1n的方向指向平面的两侧，并且PQ与2n的a1na1n2na1n2na1n2n2n图（1）图（2）Pa1n2nQ图（4）a1n2nPQ图（5）图（3）RQ（Q）Pn方向指向平面的两侧。如图（5）所示，再由引理1得二面角的大小为-2121nnnnarccos若PQ1n与PQ2n异号，同理易得二面角的大小为2121nnnnarccos。例1（2009年全国高考）如图（6）所示，四棱锥ABCDS中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=060（1）证明：M为侧棱SC的中点。（2）求二面角BAMS的大小（1）证明：略。（2）解：由已知建立如图（6）所示的空间直角坐标系。∵AD=2，DC=SD=2，∴A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2）。又∵底面ABCD为矩形，∴B（2，2，0），由（1）知M为侧棱SC的中点，∴M（0，1，1）。设平面SAM的一个法向量为1n=（a，b，c），则0AS1n，0AM1n，∴a=2c，b=c，令c=1，得1n=（2，1，1）。同理可得平面ABM的一个法向量2n=（1，0，2）。∴由向量夹角公式得212121nnnn，nnosc=36。设SB的中点N，则N（，221，1），∴在二面角BAMS的棱上取一点A，在二面角内取一点N，则AN=（-，221，1），又∵AN1n=1＞0，AN2n=22＞0∴由本文定理有二面角BAMS的大小为-2121nnnnarccos=-arccos36。例2（2007年山东高考）如图（7）所示，在直四棱柱ABCD-1111DCBA中，已知DC=1DD=AD2=AB2，AD⊥DC，AB∥DC。（1）设E是DC的中点，求证：ED1∥平面BDA1（2）求二面角11CBDA的余弦值。解：（1）略。（2）∵直四棱柱ABCD-1111DCBA，又∵AD⊥DC，∴建立如图（7）所示的空间直角坐标系，设AB=1，∵DC=1DD=AD2=AB2，∴AD=1，CD=2，1DD=2，∴），，D（000，），，（A2011，），，（C2201，∵AB∥DC，∴），，B（011，∴1DA=（1，0，2），DB=（1，1，0），设平面BDA1的法向量为1n=（a，b，c），则1n1DA=0，1nDB=0，∴a=-2c，b=2c，令c=-1，得1n=（2，-2，-1）。同理可得平面1BDC的一个法向量2n=（1，-1，1）。∴由向量夹角公式得212121nnnn，nnosc=33。在二面角11CBDA的棱上取一点D，在二面角11CBDA内取一点1D，∴1DD=（0，0，2），∵1DD1n=-2＜0，1DD2n=2＞0，∴由本文定理有二面角11CBDA的大小为2121nnnnarccos=arccos33，∴二面角11CBDA的余弦值为33。yxzABCSMD图（6）zxyABCD1A1B1C1D图（7）E综上所述：确定二面角大小的“定海神针”就是一个向量n，它的起点在二面角的棱上，它的终点在二面角内。若n1n与n2n同号，则它的大小为-2121nnnnarccos。若n1n与n2n异号，则它的大小为2121nnnnarccos。