磁场在高中物理中的综合应用

例1：（2007年全国高考卷Ⅰ）两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y0，0xa的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y0，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间与在xa的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。解：对于y轴上的光屏亮线范围的临界件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a；对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是c和c’由对称性得到c’在x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足1225tt12712ttT解得116tT2512tT由数学关系得到：32RaOP=2a+R代入数据得到：3OP=2(1+)3a所以在x轴上的范围是32ax2(1+)3a点评：本题是比较典型的磁场中圆运动问题，但所涉及的考查点物理过程的分析，临界值的选取，范围的讨论，着重考查数学方法中的几何作图在物理中的应用，这也是带电粒子在磁场中运动的解题重要方法。例2（2002年全国理综，20分）电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则eU＝21mv2①eVB＝Rmv2②又有tg2＝Rr③由以上各式解得B＝221tgemUr④点评：此题的关注点，除了带电粒子在磁场中的运动外，就是在解题过程中对磁场区域半径和轨迹半径的区分。就此体现了圆运动的解题特点。例:有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高度H处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始减速运动，直到其上边cd刚好穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半，此匀强磁场的宽度也是L，线框在穿越匀强磁场过程中产生的电热是（）A．2mgLB．2mgL+mgHC．mgH43mgL2D．mgH41mgL2答案：C线圈在穿越磁场过程中，由动能定理432122vmWmgLf而gH2v2，mgHmgLWQf432例：如图所示，水平向右的匀强电场mVE4，垂直纸面向里的匀强磁场TB2质量gm1带正电的小物块A，从M点沿绝缘粗糙的竖直档板无初速滑下，滑行m8.0到N点时离开档板做曲线运动，在p点时小物块瞬时受力平衡，此时速度与水平方向成45，若p与N的高度差为m8.0，求（1）A沿档板下滑过程中摩擦力所做的功，（2）p与N的水平距离。解析：（1）在物体从M到N的运动过程中，由于洛仑兹力的存在使物体与挡板之间正压力发生变化，所以不能直接用sf来求摩擦力做功，只能通过能量观点来解决。从M到N由动能定理：0212NfmvWmgh①又因为在N点与档板分离，所以档板对物体弹力为零：EqBqvN②由①②两式得：JWf3106（2）从N到P这段过程是一段不规则的曲线，想要求解水平位移就必须从能量角度入手了。设到N点水平距离为S竖直距离为h,则从N到P由动能定理：222121NpmvmvsEqmgh③在P点时受力平衡，则受力分析如图：所以，mgEqEqBqvp2④由②③④得：S＝0.6m总结：在磁场中，通过电流的导体杆受到安培力做正功是把电能转化为其它能（动能，势能，摩擦生热等等）。通过感应电流的导体杆受到的安培力做负功，把产生感应电流过程中所消耗的机械能转化为电能，再通过电流做功转化为其它能（通常为电热，即焦耳热）。带电粒子在磁场中运动时所受的洛仑兹力并不做功，可是，由于洛仑兹力的存在会改变粒子在运动轨迹或者其它被动力，从而改变其它力做功的情况。例：如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力。(1)通过ab边的电流Iab是多大?(2)导体杆ef的运动速度v是多大?解：（1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为Iab，dc边的电流为Idc，有I43Iab①I41Idc②金属框受重力和安培力，处于静止状态，有2dc22ab2LIBLIBmg③由①②③解得：22LB4mg3Iab④（2）由（1）可得22LBmgI⑤设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有E＝B1L1v⑥设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则r43R⑦根据闭合电路欧姆定律，有I＝E/R⑧由⑤～⑧解得2121LLBB4mgr3v⑨例：如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而同过C点进入磁场区域，并在此通过A点，此时速度与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：（1）粒子经过C点是速度的大小和方向；（2）磁感应强度的大小B。（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有qE=ma○1加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有212hat○20lvt○3由○2○3式得02avlh○4设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量12vah○5由○1○4○5式得222201(4)2qEhlvvvmh○6设粒子经过C点时的速度方向与x轴夹角为，则有10tanvv○7由○4○5○7式得2arctanhl○8（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有2vqvBmR○9设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有PCPAR。用表示PA与y轴的夹角，由几何关系得coscosRRh○10sinsinRlR○11由○8○10○11式解得222242hlRhlhl○12由○6○9○12式得222lmhEBhlq。例：云室处在磁感应强度为B的匀强磁场，一静止的质量为M的原子核在云室中发生一次α衰变，α粒子的质量为m，电荷量为q，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内。现测得α粒子运动的轨道半径R，试求在衰变过程中的质量亏损。（注：涉及动量问题时，亏损的质量可以不计）洛仑兹力充当向心力所以RmvBqv2得到mBqRv再根据动量守恒求出原子核的速度mvvmM)(mMBqRv所以衰变后的总的动能E=1/2mv^2+1/2(M-m)v’^2这部分能量是质量亏损得到的，所以质量亏损E=△mc2△m=E/c2例3：足够强的匀强磁场中有一个原来静止的氡核Rn它放射出一粒子后变成了Po核.假设放出的粒子运动方向与碰场方向垂直.求：（1）粒子与Po核在匀强磁场中的径迹圆半径之比.（2）计算粒子与Po核两次相遇所间隔的时间与粒子运动周期的关系.氡核Rn的原子量为222，质子数86，Po的原子量为210，质子数84，所以放出的粒子的原子量为12，质子数2，由动量定理，则设Po和粒子的速度分别为V1和V2，则有210V1=12V2在匀强磁场中的径迹半径为R=mv/qB所以R1：R2=(m1v1/q1B):(m2v2/q2B)=q2:q1=1:42在匀强磁场中的径迹周期为T=2πm/qB它们的周期之比为T1:T2=m1q2:m2q1=5:12所以粒子与Po两次相遇所用的时间即为它们周期的最小公倍数，应为12T2，粒子与Po核两次相遇所间隔的时间与粒子运动周期的关系为12倍关系。例：下图所示装置为某课外活动小组以铂为电极，用直流电电解滴有2～3滴酚酞试液的饱和CaCl2溶液的示意图，直流电源电动势E＝9.0V，电源内阻r＝2.0Ω，电解池中两极板间电阻R1＝8.0Ω，V为理想电压表，连接导线电阻忽略不计，金属棒ab的电阻R2＝6.0Ω,ab长L＝16cm，重力大小G＝1.5N，棒处于水平向里的匀强磁场中，磁感强度B＝10T，两根完全相同的轻质弹簧下端与棒两端相连，上端系在绝缘的天花板AB上，弹簧的劲度系数K＝10N/m，通电300h后，停止通电，然后通入标准状况的CO2气体67.2L（已知1mol电子所带的电量Q＝9.65×104C）。试解答下列问题：（1）电解时电压表的示数是多少?（2）求电解时每根弹簧的伸长量为多少?电解时的电流为II=E/(R1+R2+r)=9/16A电压表测量两板间的电压U=IR1=9/2Vab受到的电磁力F=BIL=0.9N设弹簧伸长量为xmg-F=2kx=x=0.03m