2019-2020年高中数学-第二章-圆锥曲线与方程章末检测-新人教A版选修1-1

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修1-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(xx·青岛质检)双曲线x24－y25＝1的渐近线方程为(B)A．y＝±54xB．y＝±52xC．y＝±55xD．y＝±255x解析：由题意得双曲线x24－y25＝1的渐近线方程为x24－y25＝0，即y＝±52x，故选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为(A)A.53B.43C.54D.32解析：由ba＝43，得b＝43a.平方得b2＝169a2.又b2＝c2－a2.代入，解得ca＝53.3．(xx·浙江质检)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(A)A.14B.12C．2D．4解析：由椭圆x2＋my2＝1，得x2＋y21m＝1，∵焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴21m＝1，解得m＝14.4．若抛物线y2＝－2px的焦点与椭圆x216＋y212＝1的左焦点重合，则p的值为(D)A．－2B．2C．－4D．6解析：∵椭圆的左焦点为(－2，0)，抛物线的焦点为p2，0，∴p2＝3，p＝6.5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标是(B)A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1，2)D．(2，22)解析：∵F(1，0)，设A(x0，y0)是抛物线上一点，则有y20＝4x0.又OA→·AF→＝－4，∴(x0，y0)·(1－x0，－y0)＝－4，化简得，x20＋3x0－4＝0.解得x0＝1，x0＝－4(舍去)．将x0＝1代入抛物线方程，得y0＝±2.6．曲线x210－m＋y26－m＝1(m＜6)与曲线x25－m＋y29－m＝1(5＜m＜9)的(A)A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同解析：∵m＜6，∴曲线x210－m＋y26－m＝1为焦点在x轴上的椭圆．∴c2＝(10－m)－(6－m)＝4，c＝2，∴2c＝4.又5＜m＜9，∴曲线x25－m＋y29－m＝1为焦点在y轴上的双曲线，即y29－m－x2m－5＝1.∴c2＝(9－m)＋(m－5)＝4，c＝2，∴2c＝4.7．(xx·东三省四市联考)以椭圆x28＋y25＝1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为(D)A．y＝±35xB．y＝±53xC．y＝±155xD．y＝±153x解析：依题意得双曲线的实轴为2a＝28－5＝23，焦距2c＝28＝42，b＝c2－a2＝8－3＝5，因此该双曲线渐近线方程是y＝±bax＝±153x，故选D.8．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m为(A)A．－14B．－4C．4D.14解析：将双曲线方程化为标准形式，得y21－x2－1m＝1.∴a2＝1，b2＝－1m.根据题意，得2b＝2·2a.即2－1m＝4.∴m＝－14.9．已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·PN→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(B)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设点P(x，y)，∵|MN|＝4，|MP|＝（x＋2）2＋y2，又MN→·PN→＝(4，0)·(2－x，－y)＝4(2－x)，∴4（x＋2）2＋y2＝－4(2－x)，化简得，y2＝－8x.10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A．(1，2)B．(1，2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±bax，又倾斜角为60°的直线的斜率为3，所以根据题意，得ba≥3，即b≥3a.两边平方得，b2≥3a2.又b2＝c2－a2，∴ca≥2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知双曲线中心在原点，一个焦点的坐标为(3，0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________________．解析：可知焦点在x轴上，c＝3，又2c∶2b＝5∶4，∴5b＝4c＝12，b＝125.根据a2＝c2－b2＝9－1252＝8125，故所求的双曲线方程为x28125－y214425＝1.答案：x28125－y214425＝112．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．解析：设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2，故y2＝4x.答案：y2＝4x13．(xx·郴州二监)过抛物线y2＝4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点P到y轴的距离等于________．解析：抛物线y2＝4x焦点为E(1，0)，准线为x＝－1，过点A，B，P分别作准线的垂线，垂足分别为点C，D，F，PF交y轴于点H，如图所示，则PF为直角梯形ABCD的中位线，|PF|＝|AC|＋|BD|2＝|AE|＋|BE|2＝|AB|2＝5，故|PH|＝|PF|－1＝4，即AB的中点P到y轴的距离等于4.14.ax2＋by2＝1与直线y＝－x＋1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为22，则ab＝________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax21＋by21＝1，①ax22＋by22＝1，②①－②可得：a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0，从而得ab＝－（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝－(－1)×22＝22.答案：22三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.(12分)已知A(2，0)、定圆M：(x＋2)2＋y2＝25，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线交MP于Q，求Q的轨迹方程．解析：如图，|QP|＝|QA|，∴|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝|MP|＝5.∴动点Q的轨迹是椭圆，又∵2a＝5，c＝2，∴b2＝a2－c2＝94，∴Q的轨迹方程为x2254＋y294＝1.16．(12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解析：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，∵点P32，6在抛物线上∴6＝2p×32.∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点P32，6在双曲线上，∴94a2－6b2＝1，解方程组a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得a2＝14，b2＝34，或a2＝9b2＝－8，(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－43y2＝1.17．(14分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．解析：设直线l的方程为y＝kx＋2，由y2＝2x，y＝kx＋2，消去x得ky2－2y＋4＝0.∵直线l与抛物线相交，∴k≠0，Δ＝4－16k＞0，解得k＜14且k≠0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝4k，从而x1x2＝y212·y222＝4k2.∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，即4k2＋4k＝0，解得k＝－1符合题意，∴直线l的方程为y＝－x＋2.18．(14分)已知椭圆x24＋y29＝1及直线l：y＝32x＋m，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解析：(1)由y＝32x＋m，x24＋y29＝1，消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－8＝0.①上面方程的判别式Δ＝36m2－36(2m2－8)＝－36(m2－8)．∵直线l与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－22≤m≤22.故所求实数m的取值范围为[－22，22]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－6m9，x1x2＝2m2－89，故|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋322－6m92－4×2m2－89＝133－m2＋8.当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为2263.19．(xx·海淀二模)(14分)已知椭圆G的离心率为22，其短轴两端点为A(0，1)，B(0，－1)．(1)求椭圆G的方程；(2)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．解析：(1)由已知可设椭圆G的方程为x2a2＋y21＝1(a＞1)．由e＝22得e2＝a2－1a2＝12，解得a2＝2，所以椭圆的标准方程为x22＋y21＝1.(2)设C(x0，y0)，且x0≠0，则D(－x0，y0)．因为A(0，1)，B(0，－1)，所以直线AC的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xM＝－x0y0－1，所以M－x0y0－1，0.同理直线BD的方程为y＝y0＋1－x0x－1，求得N－x0y0＋1，0.AM→＝x01－y0，－1，AN→＝－x01＋y0，－1，所以AM→·AN→＝－x201－y20＋1，由C(x0，y0)在椭圆G：x22＋y2＝1上，所以x20＝2(1－y20)，所以AM→·AN→＝－1≠0，所以∠MAN≠90°，所以以线段MN为直径的圆不过点A.20．(14分)(xx·东三省四市联考)已知圆M和圆P：x2＋y2－22x－10＝0相内切，且过定点Q(－2，0)．(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点0，－12，求△AOB(O为原点)面积的最大值．解析：(1)由已知|MP|＝23－|MQ|，即|MP|＋|MQ|＝23，且23大于|PQ|，所以M的轨迹是以(－2，0)，(2，0)为焦点，23为长轴长的椭圆，即其方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)且过AB的直线l的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0，因为方程有两个不同的解，所以Δ＝4(9k2＋3－3t2)＞0，即3k2＋1＞t2，①又因为x1＋x2＝－6kt3k2＋1，所以x1＋x22＝－3kt3k2＋1，y1＋y22＝t3k2＋1，所以y1＋y22＋12x1＋x22－0＝－1k，化简得到3k2＋1＝4t，②综合①②得0＜t＜4，又原点到直线的距离为d＝|t|k2＋1，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k24（9k2＋3－3t2）3k2＋1，化简得S△ABO＝143（4t－t2），所以当t＝2，即k＝±73时，S△AOB取最大值32.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2→|＝(C)A.32B.3C.72D．42．抛物线的顶点和椭圆x225＋y29＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为(A)A．y2＝16xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝6x3．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是(C)A．m＞12B．m≥1C．m＞1D．m＞2解析：由e2＝ca2＝1＋m1＝1＋m＞2，m＞1.4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝