测量误差与数据处理.

测量误差与数据处理武汉大学出版社2014年1月第2章误差传播与最小二乘法原理•方差与协方差传播律协方差：描述两个随机变量之间的误差相关关系。，x和y不相关，相互独立，误差不相关，x和y是相关的，不独立nyEyxExEyxnxy][lim))}())(({(nmyxxyxy][ˆ0xy0xy方差与协方差传播律随机向量及其协方差阵n维随机向量方差—协方差阵TnxxxX212212222111221nnnnnnnXXDnjiij][ˆnii][ˆ22非对角线元素对角线元素22122221112212121nnnnnnnLLLLLL方差与协方差传播律•协方差传播律观测值线性函数的方差特例：当随机向量X中的各个分量两两相互独立时，它们之间的协方差为0，方差阵为对角阵，此时z的方差上式变为02211kxkxkxkznn011kXKnnTXXTZzzKKDzEzzEzED}))())(({(21122222221212nnzkkk（2.13）方差与协方差传播律【例2.1】用长度为L的钢尺量距，连续丈量了N个尺段。已知每一尺段的距离都是独立观测值，且其中误差均为m，求全长S的中误差。＊解：由于共丈量了N个尺段，故全长由（2.13）知，，即。nLLLS2122NmmSmNmS呵，原来是这样啊！NmmS方差与协方差传播律【例2.2】设有观测值L1、L2和L3的函数已知其方差分别为，，两两之间的协方差分别为，，。求函数F的方差。＊解：由方差阵的定义知，观测值的方差阵为：32132LLLF421222323012113023301020104LLDKLLLLLLLF3213213213233321301020104321TLLFFKKDDF的矩阵形式函数F的方差方差与协方差传播律非线性函数的方差问题：已知变量x的方差和协方差，求函数的方差。核心：将非线性函数化为线性函数。方法：将函数在处展开为泰勒级数。),,,()(21nxxxfXfz00201,,,nxxx)()()()()()(),,,(00022020110100201nnnnxxxfxxxfxxxfxxxfz0)(iixfkniiinxxfxxxfk100002010)(),,,(02211kxkxkxkznn0kXK令：则有：方差与协方差传播律非线性函数的方差函数的全微分),,,()(21nxxxfXfznndxxfdxxfdxxfdz)()()(2211KdXdxkdxkdxkdznn2211或写成0iiixxdx由于，x与dx具有相同的方差，因而z与dz方差相同。因此，对于非线性函数线性化，也可以先列出函数式，然后对其求全微分。方差与协方差传播律【例2.3】设有观测向量，已知其方差阵为求的函数当L1=2，L2=3，L3=4时的方差。＊解：因函数F是个非线性函数，求其全微分13L20102111413LLD5.032212LLLFL32135.03211)25.024(5.022dLdLdLdLLdLdLLdF125.5425.02420102111425.024LLD方差与协方差传播律•误差传播律在测量中的应用水准测量的精度已知每站高差测量中误差，求测段AB中误差A、B两点间的总高差：站NABhhhh21站站NNABABhh22AB方差与协方差传播律水准测量的精度已知每千米高差测量中误差，求测段AB中误差设测段长为S,各测站距离s大致相等，则测站数N=S/skmABh站sSABh站skm1kmhSAB由于每千米高差中误差：于是有：因此：方差与协方差传播律【例2.4】水准测量中若要求每千米观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm，则该水准路线长度不应超过多少千米？＊解：由公式kmhSAB2222kmhkmhABABSS因此有：)(3610602222kmSkmhAB该水准路线长度不应超过36千米。方差与协方差传播律导线方位角的精度导线测量示意图已知同精度角度观测中误差为，求第N条导线边方位中误差。180210nTTnN方位角公式：nTN方位角中误差：方差与协方差传播律同精度独立观测值的算术平均值的精度对某量同精度独立观测n次，其观测值为L1、L2、…Ln，它们的中误差均等于，求平均值的中误差。nLnLnLnnLX11121222211nnnXnXXn次算术平均值：由方差-协方差传播公式，有：即有：方差与协方差传播律【例2.5】已知某台经纬仪一测回测角中误差为6，如果要使各测回的平均值的中误差不超过2，则至少应测多少测回？＊解：由公式222226NNX可得9262222XN所以，至少应观测9个测回。第2章误差传播与最小二乘法原理•权与定权的常用方法权的定义：设有观测值，它们的方差为设不等于零任意常数，则定义的权为220iipiL),,2,1(ni2i),,2,1(ni20iL2222122022202120211::1:1::::::nnnppp2i式中的方差可以是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差，称为单位权中误差。权比：0权与定权的常用方法单位权中误差从权的定义式上看，只起着一个比例常数的作用，而其值一经选定，它还有着具体的含义，可以理解为衡量误差大小的“单位误差标准”。凡是中误差等于的观测值，其权必然等于1；或者说，权为1的观测值的中误差必然等于。因此，通常称为单位权中误差，而称为单位权方差或方差因子，把权等于1的观测值，称为单位权观测值。0000200【例2.6】已知三个角度观测值的中误差分别为3″，4″和5″，试求各角的权。＊解:若取93220则有2516,169,1544333221221221PPP若取022416则有2516,1,916544434223222221PPP上例说明σ0取值不同，则各观测值的权不同，但权之间的比值不变，即259:169:1::321PPP权与定权的常用方法【例2.7】已知A角的中误差σA=2″，权PA=4，B角的权PB=16，试求单位权中误差σ0及B角的中误差σB。＊解:由权的定义式可得220AAP将σA、PA之值代入上式可解出222201624AAP40又由权的定义式可得11116162202BBBP权与定权的常用方法•水准测量定权已知同精度观测Ni个测站的水准高差hi的方差为：22站ihNi取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即220站C按定权公式可得用测站数定权的公式iihhNCNCPii22220站站用测站数定权（用于山地）权与定权的常用方法已知每公里观测高差的方差相等时，Si公里观测高差的方差为22kmihSi取C公里观测高差的方差为单位权方差，即2km20C按定权公式可得用路线长度定权的公式：ikmikmhhSCSCiiP22220上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。用路线长度定权（用于平地）权与定权的常用方法权与定权的常用方法【例2.8】如下图，确定水准路线观测值的权。图2.3水准路线图kmS5.11kmS5.22kmS0.23kmS0.44kmS0.35＊假定每千米观测高差的中误差为km则由各线路观测高差的中误差为：kmiiSkmkmkmkmkm0.3,0.4,0.2,5.2,5.154321km0.3500.1,75.0,5.1,2.1,0.254321ppppp如令则有：5212520222021205211::1:1::::::SSSppp权比：权与定权的常用方法下面按路线长度定权的公式定权：ihiSCP上式中令C=1，即取每千米高差中误差为单位权中误差，于是有：31,41,21,52,3254321ppppp0.1,75.0,5.1,2.1,0.254321ppppp上式中令C=3，即取3千米高差中误差为单位权中误差，于是有：31:41:21:52:321::1:1:::521521SSSppp31:41:21:52:321::1:1:::521521SSSppp权比：权比：权与定权的常用方法【例2.9】在平坦地区测得两段观测高差及水准路线的长分别为：h1=10.125米，S1=3.8km，h2=-8.375米，S2=5.5km，设每一测站的观测精度相同，那么h1和h2哪一个权大？哪一个精度高？＊解：由水准测量的定权公式知，水准测量的权与路线长度成反比，因为S2大于S1，所以，h1的权比h2的权大，h1精度高。ihSCPi权与定权的常用方法【例2.10】在相同观测条件下进行的四等水准测量中，设以4公里的观测高差为单位权观测高差，已知单位权中误差σ0=±1mm，则64公里观测高差的中误差等于多少？＊解：根据题意知，C=4公里，σ0=±1mm，S=64公里，由水准测量的定权公式求64公里观测高差的权161644SCPh再由权的定义式220hhP可得mmPhh40所以，64公里观测高差的中误差为4mm。•距离量测定权1、钢尺量距的权设单位长度距离丈量的方差为σ2，则丈量距离Si的方差为22iSSi取丈量长度C的方差为单位权方差，即取220C则按定权公式得iiSSSCSCiiP22220上式说明，当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长度成反比。权与定权的常用方法•距离量测定权测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即SSP022式中为任选的单位权方差；为测距方差，它包含固定误差和比例误差两部分。即202S610－标称标称＋SSmmkm2、光电测距的权权与定权的常用方法•等精度观测算术平均值的权已知一组等精度的独立观测值(方差均为σ2)算术平均值的方差为：ixn22若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值，即取C220按定权公式可得算术平均值的权cncPiiXXn22220上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。权与定权的常用方法•协因数单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标，反过来，观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标，我们称其为协因数，用符号Qii表示，即iiiQin20212,,...,与权的定义式比较可得QPiii1由协因数定义式又可得到QQiiiiii0202协因数与协因数传播律•协因数阵1、n维随机向量X的协因数阵仿协因数定义,定义两随机变量的互协因数ijijQ02将n维随机向量X的方差阵的定义式乘以，得:20/1nnnnnnnXQQQQQQD对称对称..................12221121120220220222012012202120