喀兴林高等量子力学习题EX2.算符

EX2.算符2.1证明下列常用公式（陈玉辉解答项鹏核对）（1）CBACABBCA],[],[],[证明：CBACABCBAABCAACBBACABCBCABACBCAABCBCA],[],[][][],[（2）BCACBACAB],[],[],[证明：BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCCABABCCAB],[],[][][],[2.2若算符B与],[BA对易，证明：（陈玉辉解答项鹏核对）],[],[1BAnBBAnn证明：],[],[],[],[111nnnnBABBBABBABA将n换成（n-1）,就有],[],[],[221nnnBABBBABA],[],[2],[],[],[],[2212211nnnnnnBABBBABABBBABBABA重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11BAnBBABBBAnBABBBAnBAnnnnnnnn#练习2.3证明：（输入人：杜花伟核对人：王俊美）（1）若A有逆，a≠0，则aA也有逆，且111)(AaaA；（2）若A,B都有逆，则AB也有逆，且111)(ABAB；（3）})(1{)(111BABABA；（4）11121111)(BABAABAAABA.(为复数);证明：（1）若A有逆，a≠0，满足1,111aaAA，则11111AAaaAaAa所以aA有逆,且111)(AaaA.(2)若A,B都有逆,满足1,111BBAA,则1111AAAABB所以AB有逆,且111)(ABAB.(3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111BABABABBABAABABBAABAAABAAABA(4)由于1)1(（x极小,即x→0时）展为级数:3211)1(故(11121111121111111)1()1()]1([)(BABAABAAABABABAABAABAABA#2.4若线性算符A有逆，{|μ}（i=1,2,3,…，n）是A的有限维的定义域的中的一组完全集。证明在A的值域中{A|μ}也是一组完全集，从而证明值域的维数与定义域相同。证明：已知A为可逆算符得111AAAA{|μ}（i=1,2,3,…，n）是A的有限维的定义域中的一组完全集μ=|Ψ|A定义域|μ为n维的假设值域|Ψ不是一组完全集，那么值域中的每一个|Ψ在定义域中有且只有一个|μ所以的|Ψ为数肯定小于n。又因为A算符是可逆的，所以得μ=|Ψ|A-1定义域|Ψ维数小于n的那么不论|μ是否为完全集都应该小于或等于n维的。这样的话|μ的维数与题目相矛盾由此得之A的值域中{A|μ}也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同。练习2.5有逆算符A的定义域是有限维的，若已知1AB,证明1BA。证明：（何建贤解答项朋核对）已知A是可逆算符，所以11AA和11AA又因为1AB，即1AAAB两边同时右乘得AAAABA1两边同时左乘1A得AAAAABAA111所以得：1AB#练习2.6证明任何线性算符作用于零矢量上，必得零矢量。证明：（高召习解答孟祥海核对）设A为任意线性算符，由线性算符的性质得：)|A()A(|令0，由于||，0|0所以)|(0|AA令||A，所以0|00|0|A#练习2.7（2.7）式与（2.8）式还各有一个用iAB,型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。（高召习解答孟祥海核对）解：（1）由于]],,[[],[],[],[],[)2()1()0(AABABABABBAB显然，对于],[)1(AB型多重对易式有],[]],,[[)1()(iiABAAB],[],[],[)1()1()1(iABABAAAB即],[],[],[)1()1()1(ABAABAABi（2）由于],[],[)()(iiABBA（1）且1)(11)(1],[!)!(!],[nininininABAiinnABAinBA（2）把（1）代入（2）得1)(11)(1],[!)!(!],[nininininAABiinnAABinBA#练习2.8试用数学归纳法证明：（陈玉辉解答项鹏核对）111],[],[ininnBBABBA证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为],[],[BABA原式显然成立；现设原式对n成立，推出它对n+1也成立：1111)1(1)1()1()1(111)1(1111],[],[],[],[],[],[],[],[],[ininnnnininnininnnnnBBABBBABBBABBBABBABBBBABABBBABA这就证明了原式对n+1也成立，所以111],[],[ininnBBABBA#2.92.10若算符A有逆，证明A的伴算符也有逆，而且11AA证明：取一任意BABA1可见对于任意，确有存在，这个就是B。若21AA,用C作用在此式两边21CACA但此式就是21，所以1A存在，因此A的伴算符也有逆。又因A有逆，即11AA则AAAA11由于则11AA又因A有逆，所以11AA#2.11伴算符的定义式（2.24）或BB可否改成对任意有：BB？（许中平核对：田军龙）证明：取一任意，都有BB式中的B是右矢空间的算符，此式右边的B的右矢与左矢B的内积，单用右矢空间的话说，就是右矢与右矢B的内积，在单一空间中，此式正是伴算符B的定义式，写成单一空间的形式就是：,,BB因此，BB可改成对任意有：BB#练习2.12本节提到的由0A断定0A的定理对于实空间（即数乘中的数是实数）是不成立的。试在三维位行空间（内积定义为标量积yx）中举出一个反例，证明此定理对实空间不成立。（邱鸿广解答田军龙审核）证明：在实空间中只要算符A为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。则当它作用到任何一个位行空间矢量上后再与原来的矢量点积都为零。但A不为零。所以不成立。例:100001010A#2.13证明：若A,B是厄米算符，则当且仅当A,B对易时，算符AB才是厄米算符。（李泽超解答董廷旭核对）证明：充分性：A,B对易，则ABBA;A,B为厄米算符，则BBAA,现任取一，则：ABBAABAB即：AB是实数。即：AB是厄米算符。必要性：A,B为厄米算符，则BBAA,；AB为厄米算符：则ABABAB.现任取一，则：ABBAABAB0BAAB即：算符A与B对易。#2.14证明，有逆的等距算符是幺正算符。（李泽超解答董廷旭核对）证明:设算符A是等距算符，则:1AA……………………………(1)由题意知算符A有逆，则：11AA………………………………...(2)用1A右乘式（1）得：1AA……………………………………………………………(3)由（3）式得A为幺正算符。#练习2.15设H是厄米算符，U是幺正算符，A是任意算符，问下列算符是厄米的还是幺正的？（孟祥海解答高召习核对）（1）1UHU，（2）HAA，（3）iHe，（4）iHiH11，（5）11UUi证明：（1）先证:1UHU是否为厄米算符，对任意矢量|有：*1*1||||||||||UHUUHUUHUUHUUHU即得证。再证：1UHU是否为幺正算符，由上可知，UHUUHU)(则UHHUUHUUHU)(只有当1HH时上式才为1，即只有当1HH时1UHU为幺正算符。（2）厄米性的证明：**||||||||HAAAHAAHAHAA即得证。幺正性的证明：由（1）中幺正性的证明（一般性与特殊性的关系）可知，AHA亦不是幺正的。（3）公式：!3!2!1132HiHiHeiH厄米性的证明：|||||HieiH由于||H为实数，所以||Hi为复数。可见iHe为非厄米算符。幺正性的证明：|)!3!2!11(|)!3!2!11(|)(|3232HiHiHHiHiHeeiHiH即1)(iHiHee，可见iHe为幺正的。（4）厄米性的证明：||)1(||)1)(1(||)1(||)1)(12(||)1)(1(||11|11111iHiHiHiHiHiHiHiHiHiHiHiHiH由于|是任意选取的，所以|取复数。可得，iHiH11为非厄米的。幺正性的证明：由练习2.3（4）的公式得，11)1(1HiHHiHiH所以，||||)1()1(||)11()11(|2HiHiHiHiHiHiH即iHiH11为非幺正算符。（5）厄米性的证明：若11UUi为厄米算符，则11|11|11||11|)11(|**UUUUUUiUUiUUi也就是说，|)11(|UUi是i的实数倍。可得|)11(|UUi不是实数。即11UUi为非厄米算符。幺正性的证明：设11UUi为幺正算符，则|)11(|11)11(|11|)11()11(|UUUUUUiUUiUUiUUi即111UU即11UU。这是不可能的，所以11UUi为非幺正算符。#练习2.16设T为任意线性算符，证明下列二算符：)(211TTT,)(212TTiT是厄米的；证明算符T按厄米算符的分解：21iTTT,21iTTT是唯一的，即证明若另有厄米算符S1和S2满足21iSST时，必有S1=T1,S2=T2.（熊凯解答赵中亮核对）证明：（1）厄米性)(211TTT=)(21TT=1T22)(21)(21TTTiTTiT（2）算符T按厄米算符的分解：TTTiiTTiTTT)(2)(2121TTTiiTTiTTT)(2)(2121假设上述分解不唯一，则存在有厄米算符S1和S2满足21iSST，此时S1≠T1,而21iSST，21iSST，则得11)(21TTTS，22)(21TTTiS这与假设矛盾，所以上述分解是唯一的。#练习2.17算符的伴算符是什么？（项朋解答陈玉辉核对）解：把算符写成矩阵形式：