喀兴林高等量子力学习题EX4.表象理论

EX4.表象理论练习4.1在任何表象中，与厄米算符H对应的矩阵（ijH）称为厄米矩阵，与幺正算符对应的矩阵（ijU）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系：ijjiHHijkkjikkjkkiUUUU（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）解：（1）ijjiHjHiHjiiHjiHjH（2）利用完全性关系可得：jkkikkijkkkkjkkiUUUkjUkiUjkkUijUkiUkjUkiUkUU证毕!练习4.2在某表象中，算符Aˆ的矩阵形式为）（）（）（）（21102110202110211ˆA（1）求Aˆ的本征值及相应的本征矢量；（2）用Aˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。解：（1）本征值方程为cbacba）（）（）（）（21102110202110211则久期方程为：021102110202110211）（）（）（）（）（解得：1=2=2，3=2当1=2=2时本征函数为：01010121KKcba即此时本征函数分别为：220221,0102当时3=2本征函数为：220223因为0*0*0*323121，，所以用Aˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为1，2，3。#练习4.3在三维空间中，K表象的基是1，2，3。有一算符A，在此表象中的矩阵为503020307A（1）求A的本征矢量在K表象中的形式及相应的本征值；（2）取A的本征矢量1，2，3为L表象（即A表象）的基，求表象变换的幺正矩阵U和1U;（3）验证所求矩阵的幺正性；（4）用U与1U计算算符A在L表象中的矩阵。（作题人：胡项英校对人：韩丽芳）解：（1）设A在K表象中的本征矢量为321ccc，相应的本征矢量为，则：321321503020307cccccc有解则：0503020307所以得：8,4,2所以：当21时，代入本征值方程且根据1232221ccc则：1,0231ccc所以：0101同理：当42时，则：23,0,21321ccc所以：230212当83时，则：21,0,23321ccc所以：210233（2）根据幺正矩阵iiU则A在K表象中矢量按列排列即为U，所以：2123000123210U21023230210101U(3)将U,1U的值代入得：111UUUU所以：U为幺正矩阵（4）根据UAUAkl)(1)(，分别代入1,UU则：800040002)(lA（算符在自身表象下，为对角矩阵，对角元为本正直）#练习4.4Hˆ为厄米算符，)ˆexp(ˆHiS（侯书进）证明：(1)Sˆ是幺正算符；(2))ˆexp(ˆdetHitrS证明：（1）Hˆ为厄米算符，则HHˆˆ*所以)ˆexp(ˆˆ1*HiSS即ISSSSˆˆ*ˆˆ*ˆ*1则Sˆ是幺正算符(2)因为Sˆ是Hˆ的函数，则Sˆ与Hˆ可以同时对角化。在Hˆ表象中，Hˆ表现为对角矩阵，对角矩阵元nnnHH为Hˆ的本征值，则nnnnnHHHtrˆ而Sˆ的本征值）（niexpH即）（nnnniexpHSS则)ˆexp(iexp)expˆdetnnnnnnHitrHiHBSn）（（#练习4.5（吴汉成完成，董延旭核对）在三维空间中，有矩阵A和B：1022255255A，022211211B（1）证明A和B均为厄米矩阵，而且[A，B]=0；（2）分别求A和B的本征值与本征矢量；（3）求A和B两算符的（归一化的）共同本征矢量集；（4）求能使A和B都对角化的幺正变换矩阵U；（5）用U将A和B对角化。解：（1）证明：由题意得A的转置矩阵A~：1022255255~A显然又得A~的共轭矩阵：1022255255)~(*A*)~(A与A比较，得：AA*)~(又*)~(AA，AA，显然A为厄米矩阵，同理可证B为厄米矩阵。又421021021022210220222112111022255255AB421021021022210221022255255022211211BAAB—BA=00,BAABBA，故得证。（2）设A的本征值为a，本征矢量为：321AAAA；B的本征值为b,本征矢量为:321BBBB。则必有本征方程：AAaA即：3213211022255255AAAAAAa01022255255321AAAaaa————[1]久期方程：01022255255aaa解之得：01a82a123a当01aa,代入[1]式得：01022255255321AAA整理得：0255321AAA0255321AAA01022321AAA联解得：0,321AAA即得：011321AAAAAA归一化条件：1AA即：10011*1*1AAAA即得：11*11*1AAAA解之得：221A2212AAA的本征矢量：02222321AAAA。同理可得：当A的本征值82aa时，A本征值矢量：222121321AAAA当A的本征值123aa时，A本征值矢量：222121321AAAA至于求B本征值和本征矢量的方法步骤，与求A的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的，因此同理可求得B的本征值分别是：21b22b23b而且相应本征值b的本征矢量分别为：1）本征值21bb时，02222321BBBB2）本征值22bb时A，02222321BBBB3）本征值23bb时，222121321BBBB(3)设A和B的共同本征矢量321，则必有本征方程：bBaA,显然也有方程：babAAbAB设,ba则AB又42102102102221022AB；并代入AB式得：32132142102102102221022042102102102221022321————————————[2]所以得久期方程：042102102102221022解之得：24,16,0321当01时，代入[2]式得：042102102102221022321整理得：02102232102102232104210210321联解得：0,321所以得：011321由归一化条件：1，得：00011*1*1解之得：2212212所以,当本征值01时，的本征矢量：02222321)1(同理可得：当本征值162时，的本征矢量：222121)2(当本征值243时，的本征矢量：222121)3(综上所述得A和B的（归一化）共同本征矢量集：)3()2()1(，02222)1(222121)2(222121)3(（4）设能使A和Ｂ都对角化的幺正变换矩阵为U，则必有1UU，UAUUAUA1'，UBUUBUB1'BUUUUAUBUUAUUBUUAUBA''又1UU，并代入上式'1'')()(ABUABUUABUUABUBA此关系式说明了：能使A和B都对角化的幺正变换矩阵，与能使（AB）对角化的幺正变换的矩阵，都是相同的，两者都是U。另一方面，由（3）的结果可得能AB对角化的幺正矩阵为：02222222121222121)1()2()3(U——————[3]（5）由于U是幺正矩阵，所以UU1，并联系[3]式得022222221212221211UUU所以对角化：022222221212221211022255255022222221212221211'AUUA02426046046022222221212221210000800012，其对角元为A的本征值，与（2）小题的结果完全一致.02222222121222121022211211022222221212221211'BUUB02221121102222222121222121200020002，其对角元为B的本征值，与（2）小题的结果完全一致。#练习4.6在一个9维空间中有二矩阵A和B；