浙江专升本高等数学第一章函数极限与连续

学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析1第一章函数极限连续微积分研究的对象是函数，函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数及函数记号的运算.极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分等实质上是各种类型的极限，既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要能准确地求出各种极限，求极限的方法主要有：①利用极限的四则运算幂指数运算法则;②利用洛必达法则;③利用函数的连续性;④利用变量替换与两个重要极限(利用几个重要的等价无穷小因子替换求极限);⑤数列极限转化为函数极限;⑥利用夹逼定理;⑦利用递推数列先证明再求出极限;⑧利用导数的定义求极限.函数的连续性是通过极限定义的,判断函数的连续性及函数间断点的类型等问题在本质上极是求极限,所以连续仍是本章的重点.要求掌握判断函数连续性及求间断点的方法，特别是分段函数在连接点处的连续性，会判别函数间断点的类型.函数的许多重要性质都与连续性有关,要求掌握有界闭区间上连续函数的性质及应用.本章在历年数学一试题中的分数统计年份878889909192939495969798990001020304分数56835338358一、知识网络图定义（特点）性质(周期性,有界性,奇偶性)函数基本初等函数(定义,性质,图形)反函数复合函数(复合函数的分解)学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析20()lim()lim()()xxxNfxfx数列极限定义定义函数极限定义左、右极限极限存在充要条件单调性性质夹逼定理定义极限高阶无穷小无穷小（大）量等价无穷小阶的分类同阶无穷小k阶无穷小单调、有界数列夹逼定理求极限的方法利用极限运算法则及函数的连续性两个重要极限无穷小量乘有界变量000000()()0,0,()()xxxyfxfxxxxfxfx0limlim函数在点处连续的定义当－＜时，有－＜间断点定义，分类和、差、积、商的连续性连续连续函数的运算反函数的连续性复合函数的连续性初等函数的连续性零点定理介值定理闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值最小值定理一致连续性定理学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析3二、典型错误分析例1．设分段函数2sin,0()ln,0xxfxxxx,求(1),(1).fxfx[错解]2sin(1),0(1)(1)ln(1),0xxfxxxx2sin(1),0(1)(1)ln(1),0xxfxxxx[错因分析]忽视了改变自变量形式的同时,要相应地考虑定义域的变化这个关键点.[正确解]2sin(1),10(1)(1)ln(1),10xxfxxxx即2sin(1),1(1)(1)ln(1),1xxfxxxx类似地2sin(1),1(1)(1)ln(1),1xxfxxxx例2.证明.1limnnn[错证],0要使1nn,则应有)1ln(ln1nn.注意到)2(2ln)1ln(ln)1ln(1nnn,则有)1ln(2lnn,故取)1ln(2lnN,则当Nn时,恒有11nn,即.1limnnn[分析]由)2(2ln)1ln(ln)1ln(1nnn,学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析4推出nn)1ln(ln)1ln(2ln是正确的.而错在由)1ln(2lnn而取)1ln(2lnN这一步上.事实上,这样得到的N,当Nn时并不能保证nn)1ln(ln一定成立.例如,取6901.1ln2ln,01.0N,按以上解法,只要,70n则.01.006.017070[正确证明]令nnhn1,则)2(2)1(!2)1(1)1(22nhnnhhnnnhhnnnnnnnn.注意到,当2n时,21nn,于是224nhnn或nhn2,也就是nnn21,故对,0取24,2maxN,当Nn时,便有nhnnn21,所以.1limnnn例3.求)cos1(coslimxxx.[错解])cos1(coslimxxx=1coslimxx－xxcoslim,因为1coslimxx与xxcoslim均不存在,故原式极限不存在.[错因分析]极限的运算法则是在参与运算的两个函数极限都存在的条件下适用的,本题错在误解了极限的运算法则.[正确解]由于21sin21sin2cos1cosxxxxxx,学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析5当x时,121sinxx,而)1(21121sin21sin0xxxxxx,故021sinlimxxx,于是原式等于零.例4.求.)1ln()cos1(1sinsinlim20xxxxxx.[错解]利用洛必达法则,注意到极限xx1coslim0不存在,故原式=xxxxxxxxx1cos1)1ln(sin1cos1sin2coslim0的极限也不存在.[错因分析]不满足洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则解,错因是忽视了洛必达法则仅是极限存在的充分条件而非必要条件.[正确解]原式=)1ln(1sinsincos11lim20xxxxxxxx=21)1ln(lim1sinsinlimcos11lim000xxxxxxxxxx.例5.设函数)(xf的二阶导数存在,求.)(2)()(lim20hxfhxfhxfh[错解]利用洛必达法则,则原式=hhxfhxfh2)()(lim0=)(2)()(lim0xfhxfhxfh.[错因分析]在推导出结果时使用了二阶导数连续的条件,本题并无这样的假设.[正确解]20)(2)()(limhxfhxfhxfh=hhxfhxfh2)()(lim0学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析6=hxfhxfhxfhxfh)()()()(lim210=)()()(21xfxfxf.例6.求)11(lim22xxxxx.[错解]原式=22112limxxxxxx=11111112lim22xxxxx.[错因分析]将xx2误写成xx2是问题所在.[正确解]原式=xxxxxx1111112lim22由于11111112lim22xxxxxx;.1)(1111112lim22xxxxxx故原极限不存在.例7.求nnnxxx21lim2(0x).[错解]当10x时,132112nnnnnxx1)(xf.当21x时,xxxxxnnnnn3212xxf)(;当2x时,2232122222xxxxxnnnnn2)(2xxf.学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析7综上所述,故有nnnxxx21lim2=2,221,10,12xxxxx.[错因分析]当2x时,误认为nnxx22,而由nnnxxx222可知,仅当2x时,才有nnxx22.[正确解]将上述变量x的取值点2x改为2x,其余不变,则nnnxxx21lim2=2,221,10,12xxxxx.例8.设Axfx)(lim,求证:,00X,当Xxx21,时,有)()(21xfxf.[错证],0由题设01X,当11Xx时,有2)(1Axf;又由假设,02X,当22Xx时,有2)(2Axf.取21,maxXXX,则当Xxx21,时,就有22)()()()(2121AxfAxfxfxf.[错因分析]主要是没搞清21,xx表示的什么角色,既然21,xx任意取定,它们就应看作常数,而最后一步又视它们为变量,显然是矛盾的.[正确证明],0由假设,0X,当Xx时,则2)(Axf.对于Xxx21,,同时有2)(1Axf,2)(2Axf,于是22)()()()()()(212121AxfAxfAxfAxfxfxf.学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析8例9.设)(xf在),(内连续,且Axfx)(lim,Axfx)(lim存在,证明:)(xf在),(上一致连续.[错解],0由Axfx)(lim,01X,当1Xx时,有2)(Axf;于是,当121,Xxx时,有22)()()()(2121AxfAxfxfxf可知)(xf在),[1X上一致连续.同理,由Bxfx)(lim,02X,当221,Xxx时,有)()(21xfxf.可知)(xf在],(2X上一致连续.又因为)(xf在],[12XX上连续,故在],[12XX上一致连续.综上所述,)(xf在),(上一致连续.[错因分析]对一致连续的定义记忆不清、理解有误.[正确证明],0由Axfx)(lim,01X,当1Xx时,有2)(Axf,故当121,Xxx时,且121xx时,22)()()()(2121AxfAxfxfxf,可知)(xf在),[1X上一致连续.同理可证当221xx时)()(21xfxf,即知)(xf在],(2X上一致连续.又因为)(xf在],[12XX上连续,因此03,当321xx时,有)()(21xfxf,故)(xf在],[12XX上一致连续.综上各项,取321,,min,当21xx时,便有)()(21xfxf即)(xf在),(上一致连续.例10.求xxxftan)(的间断点并判别类型.[错解]当0tanx,即),1,0(kkx时,函数无定义,又因xxkxtanlim,学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析9故),1,0(kkx为)(xf的第二类间断点.[错因分析]有两个问题:①遗漏了使xtan无定义的点),1,0(2kkx,这些点也是)(xf的间断点.②由于1tanlim0xxx,故0x不是第二类间断点.[正确解]xtan的定义点和零点分别为:),1,0(2kk和),1,0(kk又因1tanlim0xxx,0tanlim2xxkx),1,0(k,xxkxtanlim),1,0(k.故0x及),1,0(2kkx为第一类可去间断点;而),1,0(kkx为第二类间断点.三、综合题型分析例11.设sin()tan,xfxxxe则()fx是(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数[答案]（B）[