喀兴林高等量子力学习题EX9

练习９.１把原子看成是在荷电Ze的固定原子核外的几个电子的系统,其势能算符为jijiiirrerZeV12122证明对于原子的任何定态,有ETETVT2,,21（做题人：宁宏新校对人：胡项英）解:由位力定理VrxVxTiii2121得jjjiiirVrrVrijiijijiiiirrrrrerZer222211211+jijjijijjrrrrrer22112=222211211jijijijiiiiirrerrrZer=VrrerZejijiii121122所以有VT21由于VTE，所以有ET，EV2#9.29.39.4对于一维谐振子，证明：10nPnnXn2nnmEnPnEmnXn222,131212324nnmnXn4222221nnPnnXn（做题人：理论物理刘超审题人：何建贤）证明：1因为AAmX2，AAmiP2所以有nAAnmnXn2nAnnAnm21112nnnnnnm1,1,12nnnnnnm0同理有nAAnminPn21,1,12nnnnnnmi02nAAAAnmnXn22nAAAAAAnm2222,2,11212nnnnnnnnnnm122nm2mEn同理可以有nAAnmnPn222112122,2,nnnnnnmnnnnnmE3同理有nAAnmnXn4242nnm223222121232nnm4因为22XXX22PPP02AAmX,02AAmiP所以2222,PPXXnPnnXnnPnnXn2222nnmEEm212221n#9.5（仪双喜）证明：因为)ˆˆ(2ˆAAmwXAAmiPˆˆ2ˆ所以在一维谐振子的基态0下。坐标算符与动量算符的平均值为00ˆˆ020ˆ0AAmxx00ˆˆ020ˆ0AAmiPP坐标与动量算符的平方算符的平均值为：mAAmAAAAAAAAmAAmxx20ˆˆ020ˆˆˆˆˆˆˆˆ020ˆˆ02002220ˆˆ020ˆˆˆˆˆˆˆˆ020ˆˆ020022mAAmAAAAAAAAmAAmPP由222222PPxxPx得到24222PxPx一维谐振子的基态0具有最小的不确定度2Px即2Px中的等号成立。#9.6（仪双喜）证明：利用公式：0,!1expexpiiBAiABA00,,!,,!1exp,expiiiiiAAfAAiAAfAAiAAAAfAAAAf,为AA,的多项式，简单的令AAAAf,所以，AAAAAAAAAAAA,,,AAAAAAAAAAAAAAAA,,,,2同理：AAAAAA,3AAfAAAiAiAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAiiiiiiiiexp,expexpexp!!!3!2!3!2!3!2,!003232320又因为：AAAAf,得到：AAfAAAAfAAexp,expexp,exp#