喀兴林高等量子力学习题EX14

练习14.1对于一个纯态的密度算符，证明：（1）2；（2）在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1；（3）0det。解：（1）设归一化的纯态为，由2所以，2（2）由得即所以1，即在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1。(3)由上题知，的本征态为1则1111nmmnnm它是一个对角阵，而且对角元中只有一个元素11不为0（111）易得0det#14.2从一个描写纯态的密度算符，能否求出：（何贤文）（1）任意物理量在此态中取各值的概率？（2）此物理量取各值的概率幅？（3）描写这个态的态矢量？解：描写纯态的密度算符，其中是归一化的态矢量。（1）任意物理量A在态中取值ia的概率iW：iiiiiiaaaaaW2（2）设物理量A的本征矢量为ia，相应的本征值是ia，态矢量是由有限个态叠加得到的，即nnccc2211物理量A在状态中取各值ia的概率幅为njjijniniinniiiicccccacacaa12121221212112211（3）处于纯态时，系统的密度算符是将上式中的作用于态矢，有即是在上式中，1是算符的一个本征值。：在坐标表象中，密度算符的矩阵元可以表示为rrrrrr),(即有2),(rrr#14.3一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是丢失了一些信息呢还是一点信息也没有丢失？（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）解：一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是一点信息也没有丢失。密度算符一个物理量A在态中的平均值可以写成trAnAnAnnAAnn(1)物理量A在态中取值ia的概率iWiiiiiiaaaaaW2(2)由（1）和（2）两式可知，密度算符可以完全替代态矢量来描写纯态，密度算符包含了态矢量的一切信息。#14.4对于（14.27）式类型的密度算符[满足（14.28）式的条件]，证明（14.20）和（14.21）二式成立。（做题者：班卫华审核者：何贤文）证明：由题意，得mPmmm''1,,1,2''mmiimiiiimiiimmmCmCPCPCP取一组基n，利用完全性关系1nnn，有1''''''''''iiimmiiinmmimimmimnmmmmPPmmmmnmCPCmnnmPmntr1222''''''''2'''''''ijjjiijjjiiiijjijijimmijjjjiiijmjjjmmmimiiimnmmijjmmimmPPPPPPmmPmmmmPmmmCPCmmCPCmnmPmmPmntr对纯态，mPmmPmmmmm'''2',1'''''''''22iimmiiiimmimiiimnmmmmnPPmmmmmCPCmnmPmnnntr#练习14.5当（14.19）式中参与混合态的状态i是归一化且互相正交时，重新证明密度算符的性质即（14.20）和（14.21）二式。（张伟）证明：取一组基}{n，利用完全性关系1nnn，有1|||iiiiiiiniiippnpntr上式即为（14.20）式1|）式中参与混合态14.19（|||||ijji2iji2iiijjiijijjijiijjjjinijiippptrppnppntr即，所以是归一化且互相正交的的状态因为#练习14.6由一个单电子自旋态，已知在此态中自旋三个分量的平均值xS、yS、S，求：（1）此态的密度矩阵；（2）此态成为纯态的条件。解：（1）已知01102xS，002iiSy，10012S令dcba由trAA，得)(2201102bcbadctrdcbatrtrSSxx（1）)(22002ibicibiaidictrdcbaiitrtrSSyy（2）)(2210012dadcbatrdcbatrtrSS（3）又由密度算符的性质，1tr所以1da（4）由(1)、(2)、(3)、(4)可解得：SSiSSiSSYxyx2121（2）满足纯态的条件是12tr1)(2221)21()21(21212121222222222222222yxyxyxYxyxYxyxSSStrSSSSSSSSiSSiSSSSiSSiSS即得42222SSSyx所以此态成为纯态的条件是42222SSSyx。#14.7有一自旋混合态，其参与态及概率如下：（高思泽）41p,2121;41p,2121;41p,01321（1）求这个态的密度矩阵，判断此态是否混合态。（2）求能给出同样密度矩阵的两个正交态及相应的参与概率。（3）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵作为验证。解：（1）这个态的密度矩阵为31158121212121412121212121010141可以算出1169,12trtr，所以此态为混合态。（2）是厄米算符，求出其本征态和本征值。令其本征态a1，本征值为p，则apa11311581|解得：8285,21pa本征态和本征值为：8221,2118221,2112111pp可知21,正交，其相应的本征值即为相应的参与概率。（4）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵31158121121182212112118221可知（2）所求的正交态得出的密度矩阵与题目给出的自旋混合态是一样的。#