福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

奥鹏远程教育中心助学服务部秋学期《高等代数选讲》考试复习题一本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．设,AB是n阶方阵，k是一正整数，则必有（）()()kkkAABAB；()BkAkA；22()()()CABABAB；()DABAB。考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181；行列式的性质，参见P113；矩阵乘积的行列式，参见P197；2.设D是一个n阶行列式，那么（）(A)行列式与它的转置行列式相等；(B)D中两行互换，则行列式不变符号；(C)若0D，则D中必有一行全是零；(D)若0D，则D中必有两行成比例。考核知识点：行列式的性质，参见P111-113；3．设矩阵A的秩为rr()1，那么（）(A)A中每个ss()r阶子式都为零；(B)A中每个r阶子式都不为零；(C)A中可能存在不为零的1r阶子式；(D)A中肯定有不为零的r阶子式。考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152；4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）(A)nnnxgxfxgxf,,；(B)njijifffffjin,,2,1,,,1,1,,,21；(C)xgxgxfxgxf,,；(D)若1,1,xgxfxgxfxgxf。考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46；5．设m,,,21是线性空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）(A)任一组不全为零的数mkkk,,,21，都有miiik10；(B)任一组数mkkk,,,21，有miiik10；奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致(C)当021mkkk时，有miiik10；(D)任一组不全为零的数mkkk,,,21，都有miiik10。考核知识点：向量的线性无关的定义，参见P220；二、填空题（共20分，每空4分）1.行列式11111111x的展开式中x的系数是___。考核知识点：行列式依行依列展开（代数余子式），参见P121；2.已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k线性相关，则k_。考核知识点：向量的线性相关的定义，参见P2203.设A为n维非零行向量，则齐次线性方程组0Ax的基础解系中所含解向量的个数是。考核知识点：齐次线性方程组的解空间的维数，参见P252；14.矩阵1031与3021中，能够对角化的是。考核知识点：矩阵可以对角化的条件，P292-293；5.二次型yxyxxyf1023),()(的矩阵为。考核知识点：二次型的矩阵为实对称矩阵，参见P346-347；三．（10分）计算1n阶行列式：12312311231234nnnnxaaaaaxaaaDaaxaaaaaax考核知识点：依据行列式的性质计算行列式，参见P111-118；四．（10分）设向量组。判断此向量组是线性相关还是线性无关？并求向量组的秩及一个极大无关组。考核知识点：判断向量组相关性的方法，参见P220-222；利用初等变换求矩阵的秩及极大无关组，参见P248-249；五．（10分）如果(1)|()nxfx，求证：(1)|()nnxfx.考核知识点：多项式的整除性，参见P31-37；奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致六．（15分）当为何值时，线性方程组23213213211xxxxxxxxx有唯一解、无解、有无穷多解？在有无穷解时，求其通解。考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156；七．（15分）求矩阵110430102A的特征值和特征向量。考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题二本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1.若21,WW都是n维线性空间V的子空间，那么（）(A)维1W+维21WW=维2W+维21WW；(B)维21WW=维1W+维2W；(C)维1W+维21WW=维2W+维21WW；(D)维1W-维21WW=维21WW-维2W。考核知识点：有限维子空间维数的关系，参见P233；2．设44矩阵123123[,,,],[,,,]AB，其中123,,,,均为4维列向量，且3,2AB，则AB（）。(A)5；(B)20；(C)30；(D)40。考核知识点：行列式的性质，参见P113-114；3.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）(A)合同的；(B)相似的；(C)相等的；(D)正交的。考核知识点：线性变换与对应矩阵的关系，参见P272；4、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（）奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致(A)若,,；(B)若；(C)若11,；(D)若,0。考核知识点：向量内积和长度的性质，参见P299-302；5、欧氏空间3R中的标准正交基是（）(A)0,1,0;21,0,21;21,0,21；(B)1,0,0;21,21;0,21,21；(C)0,0,0;31,31,31;31,31,31；(D)1,1,1;1,1,1;1,1,1考核知识点：标准正交基的定义，参见P308；二、填空题（共20分，每空4分）1．计算行列式1112344916；1200220012222185。考核知识点：利用行列式性质计算行列式，参见P111-116；行列式依行依列展开，参见P124；2．当k=时，向量1111,,2，，与k正交。考核知识点：向量正交的定义，参见P305；3．设矩阵A=762153424121，则秩A=。考核知识点：利用初等变换求矩阵的秩，参见P248；4.设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则A。考核知识点：矩阵的特征值与行列式的关系，参见P283；三．（10分）设315241213124021X，求矩阵X考核知识点：矩阵的逆矩阵的求法，参见P193-194；四．（10分）设线性方程组kxxkxxkxxxxx32132132120221奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致（1）k为何值时，方程组有唯一解、无解；（2）k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156；五．（10分）证明：有理数域上含有实数根13的不可约多项式必是2次多项式。考核知识点：有理数域上的不可约多项式，参见P71-74；六．（15分）设二次型12341234(,,,)22fxxxxxxxx(1)写出这个二次型的矩阵A；(2)求A的特征值及其线性无关的特征向量；(3)求一个正交线性替换X=TY，将1234(,,,)fxxxx化为标准形；考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；七．（15分）设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得1TATB的充分必要条件是A，B有相同的特征值。考核知识点：相似矩阵具有相同的特征值，参见P281；实对称矩阵的对角化和正交矩阵的定义，参见P337和P319；福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题三本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1.若矩阵A，B满足ABO，则（）。(A)AO或BO；(B)AO且BO；(C)AO且BO；(D)以上结论都不正确。考核知识点：矩阵的乘法运算，参见P181；2.在欧几里得空间V中，n,,,21为一正交向量组，则n,,,21一定是（）(A)线性无关；(B)线性相关；奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致(C)正交单位向量组；(D)无法判断。考核知识点：正交向量组的性质，参见P309；3.若矩阵1111A的特征根为0，2，则A2的特征根为（）(A)0，2；(B)0，4；(C)1，3；(D)0，3。考核知识点：矩阵特征根的求法，参见P282；4.在一个矩阵上添加两行或两列后，所得到的矩阵的秩（）(A)不变；(B)增加1；(C)增加2；(D)以上都不是。考核知识点：矩阵秩的相关知识，参见P152；5．设A与B是n阶矩阵,A与B相似。以下论断错误的是()(A)存在可逆矩阵P,使得APPB1；(B)BAdetdet；(C)A与B有相同的特征根；(D)A与B有相同的特征多项式。考核知识点：相似矩阵的关系，参见P281-283；二、填空题（共20分，每空4分）1．设4441132145111222454245513D，则212223AAA；2425AA。考核知识点：代数余子式的定义，参见P121；2.n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为类。考核知识点：二次型的类型，参见P362；3.若线性变换关于基21,的矩阵为dcba，那么关于基12,3的矩阵为。考核知识点：线性变换和矩阵的对应关系，参见P266；4.四阶行列式gfedcba000000000的值为。考核知识点：行列式的定义，参见P108；三．（10分）设BA,为n阶方阵，且满足BAAB，(1)证明：IBIA,均可逆；奥鹏远程教育中心助学服务部专业专注周到细致(2)当221243121A时，求矩阵B。考核知识点：可逆矩阵的定义，参见P187；矩阵的运算，参见P183；矩阵的逆矩阵的求法，参见P192-193；四．（10分）当k取何值时，线性方程组0)3(14202)8(023)2(321321321xkxxxxkxxxxk有非零解？并求出它的一般解。考核知识点：线性方程组有解的判定，参见P155-156；五．（10分）求矩阵211020413A的特征值与特征向量。考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；六．（15分）将二次型用非退化线性替换化为标准型22121213233226fxxxxxxxx考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；七．（15分）设矩阵A与B相似,其中，(1)求x和y；(2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B。考核知识点：相似矩阵具有相同的特征多项式，参见P281；矩阵对角化的方法，参见P293；