福建省2012届普通高中毕业班4月质量检查试题(数学理)WORD版

2012年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)iz的对应点所在象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．平面向量2,1a，,2mb，若a与b共线，则m的值为（）A．1B．4C．1D．43．双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程是20xy，则其离心率为（）A．5B．52C．3D．54．若集合2{|20}Axxx，{|2}Bxxa，则“AB”的充要条件是A．2aB．2aC．1aD．1a5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A．2B．92C．32D．36．已知na是公差为2的等差数列，且134,,aaa成等比数列，则数列na的前9项和等于A．0B．8C．144D．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A．2或22B．22或22C．2或22D．2或228．设0a，若关于x的不等式51xax在）,1(x恒成立，则a的最小值为A．16B．9C．4D．29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A．12B．14C．124D．114410．定义在R上的函数()fx及其导函数()fx的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()abab，有()0,()0fafb．现给出如下结论：①00[,],(=0xabfx）；②00[,],(()xabfxfb）；③00[,],(()xabfxfa）；④00[,],(()()()xabfafbfxab）.其中结论正确的个数是A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．2321dxx.12．523)1(xx展开式的常数项是．13．圆C过坐标原点，圆心在x轴的正半轴上．若圆C被直线0xy截得的弦长为22,则圆C的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,xyxyxa（0a）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m的最大值是.15．对于非空实数集A，记*{,}AyxAyx．设非空实数集合PM，若1m时，则Pm．现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有**MP；②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有*MP；③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有*MP；④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的*bM，恒有*abP，其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sincoscossin------①sin()sincoscossin------②由①+②得sinsin2sincos------③令,AB有,22ABAB代入③得sinsin2sincos22ABABAB.(Ⅰ)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:coscos2sinsin22ABABAB;(Ⅱ)若ABC的三个内角,,ABC满足cos2cos21cos2ABC,试判断ABC的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17.(本小题满分13分)在直角梯形ABCD中，ADBC，2222BCADAB,90ABC,如图（1）．把ABD沿BD翻折，使得平面BCDABD平面.（Ⅰ）求证：CDAB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18.(本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]120.3第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第三组(60,75]40.1第四组(75,90)40.1(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望E（）．19.(本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)FF为平面内的两个定点，动点P满足1222PFPF,记点P的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线上的不同三点，且0OAOBOC．（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB过点1F时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．20．(本小题满分14分)设函数)(xf的图象是由函数21cossin3cos)(2xxxxg的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数)(xg的图象向右平移12个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()hx的图象；（2）将函数()hx的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2mm倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(xf的图象．（Ⅰ）求)(xf的表达式；（Ⅱ）判断方程xxf)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{na满足)(,011nnafaa，试探究数列}{na的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知向量11在矩阵101mM变换下得到的向量是10．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求曲线02yxy在矩阵1M对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为(2,)4４，曲线C的参数方程为12cos,(2sinxy为参数）．（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲设实数,ab满足29ab．（Ⅰ）若93ba，求x的取值范围；（Ⅱ）若,0ab，且2zab，求z的最大值．2011年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C；2．B；3．A；4．C；5．C；6．A；7．D；8．C；9．B；10．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4；12．10；13．2224xy；14．43；15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()coscossinsin，------①cos()coscossinsin，------②……………………………………………2分①-②得cos()cos()2sinsin.------③………………………………3分令,AB有,22ABAB，代入③得coscos2sinsin22ABABAB.………………………………………6分(Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2ABC可化为22212sin12sin112sinABC,……………………………………………9分所以222sinsinsinACB.……………………………………………10分设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为,,abc，由正弦定理可得222acb.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形.……………………………………………13分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2ABC可化为22sinsin112sinABABC，……………………………………………8分因为A,B,C为ABC的内角，所以ABC，所以2sinsinsinABABAB.又因为0AB，所以sin0AB,所以sinsin0ABAB.从而2sincos0AB.……………………………………………10分又sin0A,所以cos0B，故2B.……………………………………………12分所以ABC为直角三角形.……………………………………………13分17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BDCDBDCD．………………………………2分∵平面BCDABD平面，BDBCDABD平面平面．∴BDACD平面．……………………………………3分又∵ABDAB平面，∴CDAB．……………………………………4分（Ⅱ）以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),ABCD(1,1,0)M．∴(0,2,0),(1,0,1)CDAD．………………6分设平面ACD的法向量为),,(zyxn，则nADnCD,∴0,0,yxz令1x，得平面ACD的一个法向量为)1,0,1(n，∴点M到平面ACD的距离22nMCdMC．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60．……………………9分设,01BNBC，则(22,2,0)N，∴(12,2,1)AN，又∵平面ACD的法向量)1,0,1(n且直线AN与平面ACD所成角为60，∴03sin602ANnANn，……………………………………………11分可得01282，∴2141或（舍去）．综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时41BCBN．…………13分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得ADAB，2ABAD，∴121ADABSABD．由（Ⅰ）知BDACD平面，即CD为三棱锥C-ABD的高，又CD=2，∴3231