浙江省宁波市2016届高三上学期期末考试数学理试题_Word版含答案

1宁波市2015学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷参考公式：柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V=31Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的表面积公式：S=4πR2，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=34πR3，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合0,1,2,3,4M，21log(2)2Nxx，则NM（▲）A.{1}B．{2,3}C．{0,1}D．{2,3,4}2.已知aR,则“|1|||1aa”是“函数xya在R上为减函数”的（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知向量(2,3),(1,2)ab，若2ab与非零向量manb共线，则nm等于（▲）A．2B.2C.12D.124．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（▲）24244侧视图俯视图正视图A．84B．7682C．7882D．808225．已知平面与平面交于直线l,且直线a,直线b,则下列命题错误．．的是（▲）A．若,ab，且b与l不垂直，则alB．若，bl，则abC．若ab，bl，且a与l不平行，则D．若al，bl，则6.已知函数()sin(2)fxx，其中为实数，若()()6fxf对任意xR恒成立，且()()2ff，则()fx的单调递增区间是（▲）A．,()36kkkZB．,()2kkkZC．2,()63kkkZD．,()2kkkZ7．已知实数列na是等比数列，若2588aaa，则151959149aaaaaa（▲）A．有最大值12B．有最小值12C．有最大值52D．有最小值528.已知12,FF分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为(0,)b，直线1FB与双曲线C的两条渐近线分别交于,PQ两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线1FB的交点分别为,MR，若1RMF与2PQF的面积之比为e，则e的值为（▲）A.62B.32C.2D.2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知log2,log3aamn，则2mna__▲__，用,mn表示4log6为__▲__.10.已知抛物线24xy的焦点F的坐标为__▲__，若M是抛物线上一点，||4MF，O为坐标原点，则MFO__▲__.311.若函数221,0(),0(2),0xxxfxaxgxx为奇函数，则a__▲__，((2))fg__▲__.12．对于定义在R上的函数()fx，如果存在实数a，使得()()1faxfax对任意实数xR恒成立，则称()fx为关于a的“倒函数”.已知定义在R上的函数()fx是关于0和1的“倒函数”，且当]1,0[x时，)(xf的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x时，()fx的取值范围为__▲__，当]2016,2016[x时，()fx的取值范围为__▲__.13.已知关于x的方程2220(,)xaxbabR有两个相异实根，若其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41ba的取值范围是__▲__.14．若正数,xy满足22421xyxy，则xy的最大值为__▲__.15.在ABC中，10,30BACACB，将直线BC绕AC旋转得到1BC，直线AC绕AB旋转得到1AC，则在所有旋转过程中，直线1BC与直线1AC所成角的取值范围为__▲__．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，且2a，242cossin25BCA.（Ⅰ）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；（Ⅱ）当ABC的周长取最大值时，求b的值.17．（本题满分15分）如图，在多面体EFABCD中，,ABCDABEF均为直角梯形，2ABEABC,DCEF为平行四边形，平面DCEF平面ABCD.（Ⅰ）求证：DF平面ABCD；ACB4（Ⅱ）若ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为22,求二面角ABFC的平面角的余弦值.18．（本题满分15分）已知函数2()1fxx．（Ⅰ）对于任意的12x，不等式24|()|4()|(1)|mfxfmfx恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数1[1,2]x，存在实数2[1,2]x，使得122()|2()|fxfxax成立，求实数a的取值范围．19．（本题满分15分）已知12,FF为椭圆22122:1(0)xyCabab的左、右焦点，2F在以(2,1)Q为圆心，1为半径的圆2C上，且12||||2QFQFa.（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）过点(0,1)P的直线1l交椭圆1C于,AB两点，过P与1l垂直的直线2l交圆2C于,CD两点，M为线段CD中点，求MAB面积的取值范围.20．（本题满分15分）对任意正整数n，设na是方程21xxn的正根.求证：（Ⅰ）1nnaa；（Ⅱ）2311111112323naanan.FCDABExyMDCQBOAP5宁波市2015学年第一学期期末试卷高三数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A2.B3．C4.B5．D6.C7．D8．A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.12，2mnm10.（0，1），2311.0，-2512.1[,1]2，1[,2]213.13,2214.23415.5[,]1818三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）解:242cossin25BCA41cos()sin5BCA即1sincos5AA又0A，且22sincos1AA，有3sin54cos5AA……………………3分（1）若满足条件的ABC有且只有一个，则有sinabA或ab则b的取值范围为10(0,2]{}3；……………………7分（2）设ABC的周长为l，由正弦定理得(sinsin)sin102[sinsin()]3alabcaBCABAB102[sinsincoscossin]322(3sincos)2210sin()BABABBBB……………………10分6其中为锐角，且10sin10310cos10，max2210l，当10310cos,sin1010BB时取到.……………………12分此时sin10sinabBA.……………………14分（注：也可利用余弦定理2222cosabcbcA，结合基本不等式求解）17．（本题满分15分）（Ⅰ）证明：因为2ABEABC，所以AB平面BCE又//EFCD,所以//EFABCD平面，从而有////ABCDEF，………………3分所以CD平面BCE，从而CDCE，又//CEDF，所以CDDF，又平面DCEF平面ABCD，所以DF平面ABCD.……………………7分（Ⅱ）过C作CHBE交BE于H，HKBF交BF于K,因为AB平面BCE，所以 CHAB，从而FHBECA平面，所以CHBF，从而BFCHK平面，所以BFKH即HKC为CBFE的平面角，与ABFC的平面角互补.……………10分因为BCDCEF，所以BF与平面DCEF所成角为BFC.由221tan2CBBCBFCCFCDCE，所以2222CBCDCE，………12分由ABD是等边三角形，知30CBD，所以3CBCD令CDa，所以3,55,CBaCECDa1530,2422CHaaCKa.所以sin154CHCKHCK，1os4cCKH.所以二面角ABFC的平面角的余弦值为14.……………………15分7FCDABEHKyxzFCDABE法二：因为,,CBCDCE两两垂直，以C为原点，,,CDCBCE所在直线为,,xyz轴，如图建立空间直角坐标系.不妨设1CD.因为BCDCEF，所以BF与平面DCEF所成角为BFC.由221tan2CBBCBFCCFCDCE，所以2222CBCDCE，…………9分由ABD是等边三角形，知30CBD，所以3,55,CBCECD(1,0,0),(0,3,0),(0,0,5),A(2,3,0),(1,0,5)DBEF………………11分(1,0,5),(0,3,0)CFCB，(2,0,0),(1,3,5)BABF平面ABF的一个法向量1111(,,)nxyz，平面CBF的一个法向量2222(,,)nxyz则111120350xxyz且222230350yxyz取12(0,5,3),(5,0,5)nn……………………13分则1212121cos,4||||nnnnnn.二面角ABFC的平面角与12,nn的夹角互补.所以二面角ABFC的平面角的余弦值为14.……………………15分18.解：（Ⅰ）由24|()|4()|(1)|mfxfmfx对任意的12x恒成立.得22224(1)4(1)2mxmxx对任意的12x恒成立.8整理得22(41)240mxx对任意的12x恒成立.……………………3分即有222244xxmx对任意的12x恒成立.又22215[,]4241114244xxxxx.故214m，则实数m的取值范围为11,22.……………………6分（Ⅱ）11()(12)yfxx的值域为1[0,3]D，……………………7分令()|2()|gxfxax即2()|22|gxxax.原问题等价于当[1,2]x时，()gx的值域为[0,]t，其中3t.………………9分令2()22,(12)hxxaxx.（1）当14a时，即4a时，(1)()(2)hhxh.所以(1)(2)0hh且(1)3h或(2)3h.即03a且3a或32a.所以302a或3a.……………………11分（2）当24a时，即8a时，(2)()(1)hhxh所以(1)(2)0hh，无解；……………………13分（3）当124a，即48a时，()()max{(1),(2)}4ahhxhh因为(1)0ha，所以(2)620ha，从而3a无解.…………………15分综上，所求a的取值范围为302a或3a.19．（本题满分15分）9xyM