福建省厦门市2008—2009学年高三质量检查测三数学(理科)试题

福建省厦门市2008—2009学年高三质量检查测三数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上；2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k球的表面积公式：S=4πR2，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=34πR3，其中R表示球的半径.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合},2|{},,|{2RxyyBRxxyyAx,则BA等于()A.{|0}yyB.{2,4}C.{(2,4),(4,16)}D.{4,16}2．下列函数中，值域是,0的是（）A．)0(12xxyB．2lg(1)yxC．21xyD．122xxy3．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除4．下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）A()sinfxxB.()1fxxC.1()2xxfxaaD.2()ln2xfxx5．设20.34log4,log3,0.3abc,则()A.bcaB.abcC.cbaD.cab6．“0232xx”是“1x或4x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若关于x的方程0122xmx至少有一个负根，则（）A．1mB．10mC．1mD．01m或0m8．函数y=x+cosx的大致图象是（）ABCD9．定义在R上的偶函数)(xf满足)()2(xfxf，且在[－3，－2]上是减函数，,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（）A．(sin)(cos)ffB．(cos)(cos)ffC．(cos)(cos)ffD．(sin)(cos)ff10．已知)(xfy是定义在R上的单调函数，实数21xx，121,,1xx112xx，若|)()(||)()(|21ffxfxf，则（）A．0B．0C．10D．111．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这xyO2xyO2xyO2xyO2两个三角形不共面的概率p为（）A．385367B．385376C．385192D．38518第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知(1＋xn)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，a3＝116，则a1＋a2＋…＋an＝_______．14．平面上向量OA绕点O逆时针方向旋转2得向量OB，且2OAOB（7，9），则向量OB____________．15．直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于．16．等比数列{an}的首项为a1=100，公比q＝12，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则当n＝时，f(n)有最大值．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（12分）已知sin(4＋3)sin(4－3)＝14，∈(0，π4)，求(1－cos2αsin2α－3)sin4α的值．18．（12分）在斜三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC为正三角形，设AA：AC＝．顶点A在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，P为侧棱CC中点，G为△PAB的重心．（Ⅰ）求证：OG∥平面AABB；（Ⅱ）当＝2时，求证：平面ABP平面BBCC；（Ⅲ）当＝1时，求二面角C－AB－P的大小．ABCABCOGP19．（12分）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线y=2x+3到曲线y=f(x)在原点处的切线所成的夹角为450.(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意实数α和β恒有不等式|f(2sinα)―f(2sinβ)|≤m成立，求m的最小值(3)若g(x)=xf(x)+tx2+kx+s，是否存在常数t和k，使得对于任意实数s，g(x)在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0(x01)使得g(x)在[1，x0]上递减？若存在，求出t+k的取值范围；若不存在，则说明理由.20．（12分）“建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”（全国人大、政协）的主要议题.某公司为了响应党中央的号召，决定投资创新科技的研发，经调查有两个可投资意向的项目：A项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目，每年需要研发的经费5a万元，若能申请国家扶持成功，则在近三年内每年可得到国家的研发经费a万元，在研发的第n年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列，2010年后将失去研发价值，若能研发成功在2026年以前（包括2026年）每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益10a万元；B项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目，每年需要研发的经费2a万元，在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列，估计3年后将失去研发价值，若能研发成功在2015年（包括2015年）以前每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益3a万元.并且项目研发上马后就不会在中途停止研发，直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A项目实力的公司准备在2006年投资研发A项目，若在某一年有几个公司同时研发成功，则以后A项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分.请你帮助该公司作出决策：在2006年应该投资研发哪一个项目？并说明你的理由.21．（12分）在直角坐标平面中，ΔABC的两个顶点AB的坐标分别为A(―77a，0)，B(77a，0)(a0)，两动点M，N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN与AB共线.(1)求ΔABC的顶点C的轨迹方程；(2)若过点P(0，a)的直线与(1)轨迹相交于E、F两点，求PE·PF的取值范围；(3)若G(―a，0)，H(2a，0)，Q点为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ0)，使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22．（14分）在直角坐标平面中，过点A1(1，0)作函数f(x)=x2(x0)的切线l1，其切点为B1(x1，y1)；过点A2(x1，0)作函数g(x)=ex(x0)的切线l2，其切点为B2(x2，y2)；过点A3(x2，0)作函数f(x)=x2(x0)的切线l3，其切点为B3(x3，y3)；如此下去，即过点A2k―2(x2k―2，0)作函数f(x)=x2(x0)的切线l2k―1，其切点为B2k―1(x2k―1，y2k―1)；过点A2k―1(x2k―1，0)作函数g(x)=ex(x0)的切线l2k，其切点为B2k(x2k，y2k)；….(1)探索x2k―2与x2k―1的关系，说明你的理由，并求x1的值；(2)探索x2k―1与x2k的关系，说明你的理由，并求x2的值；(3)求数列{xn}通项公式xn；(4)是否存在实t，使得对于任意的自然数n和任意的实数x，不等式1x2+1+2x4+1+3x6+1+…+nx2n+1≤3tx4―4tx3―12tx2+33t―6t恒成立？若存在，求出这样的实数t的取值范围；若不存在，则说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1－6ACBDCB7－12ABDADA二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．369256．14．(－115，235)．15．6或56．16．7．三、解答题：（本大题6个小题，共74分）17．（12分）解：sin(3)sin(3)sin(3)cos(3)4444111sin(6)cos62224，即1cos62，又6∈(0，32)，∴63，即18．∴（1－cos2αsin2α－3）sin4α=sin3cossin103cos10sin4sin40coscos10oooo2(sin60cos10cos60sin10)2sin50sin80sin40sin401cos10cos10cos10ooooooooooo．变式题：已知(1＋tan2α)(1＋tan25)＝2，α∈(0，π4)，求(1－cos2αsin2α－3)sin4α的值．命题意图：本题主要考查三角函数的恒等变形．包含了和差角、倍角的运算，已知三角函数值求角，诱导公式，辅助角公式，要求学生对三角函数的变形方向有综合的理解．18．（12分）（Ⅰ）证明：分别取AB，AB的中点D，D，连CD，PD，∵O为△ABC的中心，G为△PAB的重心，∴O∈CD，G∈PD，且CO∶OD＝PG：GD＝2∶1．∵AABB为□，AD＝DB，AD＝DB，∴DD∥AA，又∵AA∥CC，∴DD∥CC，即DD∥CP．又CO∶OD＝PG∶GD＝2∶1，∴OG∥DD，∵OG/平面AABB，DD平面AABB．∴OG∥平面AABB．（Ⅱ）证明一：当＝2时，不妨设AA＝22，AC＝2，由点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心，连AO并延长交BC于点E，则E为BC的中点，取BC的中点E，连EE，AA∥EE∥CC．∵AO平面ABC，∴AOBC．∵O为△ABC中心，∴AEBC．∴BC平面AAEE．设PB∩EE＝Q，∴BCAQ，且EQ＝12CP＝14AA＝22．∵AO＝32AC23＝233．AA＝22，∴cosAAO＝AOAA＝332，∴cosAEE＝332．在△AEQ中，AE＝3，EQ＝22，cosAEE＝332，∴AQ2＝AE2＋EQ2－2AEEQcosAEE＝52．∵AQ2＋EQ2＝AE2，∴AQQE，∵QE与BC相交，∴AQ平面BBCC，∵AQ平面ABP，∴平面ABP平面BBCC．证明二：当＝2时，不妨设AA＝22，A