福建省年普通高中毕业班质量检查数学文科试题

第1页共10页福建省2009年普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=knkkn)p(pC1．球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径．球的体积公式V=34πR3，其中R表示球的半径．第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内．1．已知集合A={x|-2，-1，0,1，2}，B={2，3}，则A∪B为()A．{2}B．{2，3}C．{-2，-1，0,1，2}D．{-2，-1，0,1，2，3}2．不等式032xx的解集是()A．(-3,2)B．(2，+∞)C．(-∞，-3)∪(2，+∞)D．(-∞，-2)∪(3,+∞)3．双曲线4x2-y2=1的渐近线方程是()A．4x±y=0B．x±4y=0C．x±2y=0D．2x±y=04．已知函数),x(),x(x)x(fx0203则f(f(-2))的值为()A．-1B．41C．2D．45．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为()A．29πB．π34C．36πD．π3326．已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3C．a≤-3或a≥-2D．-3≤a≤-27．已知条件p:k=3，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知数列na的前n项和为Sn，且Sn是an与1的等差中项，则an等于()A．1B．-1C．(-1)nD．(-1)n-19．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是()A．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥nB．若m∥α，nα，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α第2页共10页10．函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成()A．y=sin(x+8π)B．y=sin(2x+8π)C．y=sin(2x+4π)D．y=sin(2x-4π)11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为()A．3122418CCCB．3121428CCCC．3121428AAAD．3121428AAA12．若函数f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(2)=0，则x)x(f)x(f＜0的解集为()A．(-2,0)∪(0,2)B．(-∞，-2)∪(0,2)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13．二项式(21xx)6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b，则x的值是_______．16．阅读下面材料，并回答问题：设D和D1是两个平面区域，且D1D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=的面积的面积DD1.已知区域E={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)(I)求f(8π3)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．第3页共10页18．(本小题满分12分)在数列na中，a1=1，an+1=an+c(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)设bn=11nnaa，求数列nb的前n项和Sn．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．(I)求证：EF∥平面ACD，；(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角；(Ⅲ)设点P在棱BB1上，且BP=36求二面角P-AC-B的大小．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．(I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)第4页共10页21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R，a、b是常数，a≠0)，且当x=1和x=2时，函数f(x)取得极值．(I)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围.22．(本小题满分14分)已知定点A(a，O)(a0)，直线l1：y=-a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．(I)求动点C的轨迹E的方程；(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线l1于点R．(1)若tanα=1，且ΔPQB的面积为2，求a的值；(2)若α∈[6π，4π]，求|PR|·|QR|的最小值．第5页共10页2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D2．C3．D4．C5．B6．A7．A8．D9．A10．C11．B12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．15；14．22；15．34；16．23三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.解：1cos21()sin222xfxx……………………………………………………(4分)2221(sin2cos2)222221sin(2)242xxx………………………………………(6分)3211(I)()sin8222f…………………………………………………(8分)(II)222242kxk令…………………………………………(10分)322244kxk即3()88kxkkZ时，f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[38k，38k]()kZ……………………(12分)18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)∴a2=1+c,a5=1+4c.第6页共10页又a1,a2,a5成等比数列,∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)当c=0,an+1=an不合题意,舍去.∴c=2.………………………………………………………………………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,∴111111()(21)(21)22121nnnbaannnn，……………(10分)∴Sn=b1+b2+…+bn=111111[(1)()()]23352121nn=11(1)221n=21nn.……………………………………………………………(12分)19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．解法一：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、Bl(2,2,2)、Dl(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1)．…………………………………………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是DB=(2,2,2)．………………………(4分)又∵EF=(-1,2,-1)，由EF·1DB=-2+4-2=0，∴EF⊥1DB，而EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1……………………(6分)(Ⅱ)∵AB=(0,2，0)，cosEF,AB=463||||26EFABEFAB∴异面直线EF与AB所成的角为arccos36……………………(8分).(Ⅲ)∵BP=36，∴P(2，2，36).设n=(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则0,0.nACnAP第7页共10页∵AP=(0，2，36),AC=(-2，2，0)，∴220,620,3xyyz取(1,1,6)n.易知1(0,0,2)BB是平面ACB的一个法向量，∴cosn，1BB=112632||||1162nBBnBB…………(10分)∴二面角P-AC-B的大小为30°.………………………………(12分)解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2，-1)，1AD=(-2,0，2)，AC=(-2,2，0)，∴AC-1AD=EF，∴EF、AC、1AD共面.又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1中，EK∥AA1，且EK=12AA1，∵FC=12CC1，CC1∥AA1，∴FCEK，∴四边形EKCF为平行四边形，∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．连DK，∵CD⊥平面AD1，DK平面AD1，∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=2，∴tan∠DCK=22，∴异面直线AB和EF所成的角为arctan22．…………………(8分)(Ⅲ)连结BD交AC于O，连OP，∵四边形ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB是PO在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得OP⊥AC，∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角．第8页共10页…………………………