福建省泉州五中莆田一中漳州一中2014届高三上学期期末联考数学(理)试题

·1·泉州五中、莆田一中、漳州一中2014届高三上学期期末联考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．设i是虚数单位，则2(1)ii等于（）A、0B、4C、2D、22.若,ab是向量，则“ab”是“a=b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．由曲线12xy，直线0x，2x和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A．202)1(dxxB．202|1|dxxC．|)1(|202dxxD．122201(1)(1)xdxxdx4．已知直线l⊥平面，直线m平面，给出下列命题：①∥;lm②l∥m;③l∥m;④ml∥;其中正确的命题是（）A．①②③B．②③④C．②④D．①③5.已知tan2，则22sin1sin2（）A.53B.134C.135D.1346．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.1B.2C.13D.23·2·8.抛物线24yx的焦点为F,点(,)Pxy为该抛物线上的动点,又点(1,0)A,则||||PFPA的最小值是（）A．12B．22C．32D．2239．已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点,则实数a的取值范围是(）A．(,0)B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)10．已知f(x)=33xxm，在区间[0,2]上任取三个数,,abc,均存在以(),(),()fafbfc为边长的三角形，则m的取值范围是（）A.2mB.4mC.6mD.8m二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知cos,0,4()()_____.(1)1,0.3xxfxffxx≤则12.观察下列等式:2112212322212632222124310…照此规律,第n个等式可为.13.已知1F、2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若12120FPF,且12FPF的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是____.14．已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(,)dPl．设l是长为2的线段，点集{|(,)1}DPdPl所表示图形的面积为________.15.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量APABAE，则的最小值为____，的最大值为_____；BADCEP·3·三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分13分）已知(3sin,2cos),(2cos,cos),mxxnxx函数()1fxmn．(Ⅰ)求函数)(xf的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设ABC的角CBA,,的对边分别为cba,,，且1,()0afA，求cb的取值范围．17．（本题满分13分）已知数列*2log(1),nanN为等差数列，且.9,331aa（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明：.111112312nnaaaaaa18．(本题满分13分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，DEAF//，AFDE3，BE与平面ABCD所成角为060.(Ⅰ)求证：AC平面BDE；(Ⅱ)求二面角DBEF的余弦值；(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论.19．（本题满分13分）已知椭圆E:22221(0)xyabab的左焦点为1(1,0)F,且过点2(1,)2Q.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足(1)BPAP.(1)若3,求113||||AFBF的值;(2)若M、N分别为椭圆E的左、右顶点，证明:11.AFMBFN∠∠20．（本题满分14分）已知函数2()(2)ln.fxxaxax(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的极小值；MAF1F2ONxyPB·4·(Ⅱ)当1a时，过坐标原点O作曲线()yfx的切线，设切点为(,)Pmn，求实数m的值；(Ⅲ)设定义在D上的函数()ygx在点00(,)Pxy处的切线方程为:(),lyhx当0xx时，若0()()0gxhxxx在D内恒成立，则称P为函数()ygx的“转点”．当8a时，试问函数()yfx是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2002M，记绕原点逆时针旋转4的变换所对应的矩阵为N（Ⅰ）求矩阵N；（Ⅱ）若曲线C：1xy在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C，求曲线'C的方程．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为cos4sin2，直线l的参数方程为cos,(1sinxttyt为参数，0）．（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l经过点)0,1(，求直线l被曲线C截得的线段AB的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设不等式21|x|的解集与关于x的不等式20xaxb的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数()35fxaxbx的最大值，以及取得最大值时x的值.·5·2014届高三上学期期末理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.D2.A3.B4.D5.D6.D7.A8.B9.B10.C二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.3212．22221123...(1)(1)1241)(()2nnnnnn∈N（注：没写n∈N不扣分）13．7214.4S15.的最小值是1；最大值为5.三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．解：（Ⅰ）2()3sin22cos13sin2cos22fxxxxx2sin(2)2.6x…………3分故)(xf的最小正周期为,………4分由262xk（Zk）得对称轴的方程为1,.23xkkZ…6分（Ⅱ）由0)(Af得2sin(2)20,6A即sin(2)1,6A112,2,66662AA,3A………8分解法一：由正弦定理得)32sin(sin32sinsin32BBCBcb）（=)6sin(2B……………10分25,(0,),(,),33666ABB……………11分1sin(),1,62Bbc的取值范围为2,1.………13分解法二：由余弦定理得222,1,abcbca221,bcbc………10分22()()1313,4bcbcbc解得2,bc……………11分又1cb，所以cb的取值范围为1,2.……13分17．（I）解：设等差数列)}1({log2na的公差为d.由13223,9log22log8,aad得即d=1.…3分所以2log(1)1(1)1,nann………5分即.12nna……7分（II）证明：11111222nnnnnaa，…………9分nnnaaaaaa2121212111132112312………10分·6·.1211211212121nn…12分∴.111112312nnaaaaaa…13分18.(Ⅰ)证明：因为DE平面ABCD，所以ACDE.……………2分因为ABCD是正方形，所以BDAC，又,BDDE相交从而AC平面BDE.…………………4分(Ⅱ)解：因为DEDCDA,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyzD如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为060，即60DBE，………5分所以3DBED.由3AD可知36DE，6AF.…6分则(3,0,0)A，(3,0,6)F，(0,0,36)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF，(3,0,26)EF，………7分设平面BEF的法向量为n(,,)xyz，则00BFEFnn，即3603260yzxz，令6z，则n(4,2,6).………8分因为AC平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA，所以613cos,133226CACACAnnn.……9分因为二面角为锐角，所以二面角DBEF的余弦值为1313.………10分(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设(,,0)Mtt.则(3,,0)AMtt，因为//AM平面BEF，所以AMn0,……11分即4(3)20tt，解得2t.………12分此时，点M坐标为(2,2,0)，13BMBD，符合题意.…………13分19.【解析】(Ⅰ)因为焦点为1(1,0)F，C=1，又椭圆过2(1,)2Q，取椭圆的右焦点2F，2(1,0)F，由12||||2QFQFa得2,1ab，所以椭圆E的方程为221.2xy……………3分（Ⅱ）（1）设11(,)Axy,22(,)Bxy,显然直线AB斜率存在,设直线AB方程为(2)ykx由22(2)22ykxxy得:222(12)420kykykPABMNxyo1F2FPABMNxyo1F2F·7·0得2102k,2133BPAPyy,12124412kyyyk,2212122312kyyyk,………5分214k,符合0,由对称性不妨设12k,解得41(,)33A,(0,1)B11322AFBF…………8分(2)若11x,则直线PA的方程为2(2)2yx,将22k代入得0,不满足题意,11x同理21x……………9分111tan1yAFNx,212tan1yBFNx,121112tantan11yyAFNBFNxx21112212(1)(1)xyyxyyxx21112212(2)(2)(1)(1)yyyyyykkxx222121212122242()(12)120(1)(1)(1)(1)kkyyyykkkkxxxx…11分11tantanAFNBFN11AFMBFN………13分20．【解析】(I)当1a时，xxxxxxxxxf)12)(1(1321322'，当210x时，0'xf；当121x时0'xf；当1x时0'xf.所以当1x时，xf取到极小值2。……………………………3分(II))0(12)(xxxxf，所以切线的斜率mmmmmmkln1122整理得01ln2mm,显然1m是这个方程的解，………………5分又因为1ln2xxy