机械振动学(第三章)-多自由度振动系统

引领专业投资一、概论二、单自由度系统的振动三、二自由度系统的振动四、多自由度系统的振动五、MATLAB在汽车振动分析中的应用六、汽车振动试验及测试课程内容装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture四、多自由度系统的振动装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture多自由度振动系统是二自由度系统的扩展，二自由度系统是多自由度系统的特例，实际振动问题大都属于多自由度振动系统。由上一章可以看出，自由度由1增加到2，会引起系统行为发生质变，带来一系列新的物理概念，即会引起性质上的一些变化；而二自由度和多自由度系统的区别，主要体现在数量上和系统的复杂程度上。诸如：单自由度无阻尼系统和二自由度无阻尼系统的本质区别：单自由度无阻尼系统的自由振动与固有振动属同一种振动，在任意初始条件下总是简谐的；而二自由度无阻尼系统的自由振动一般是两种不同频率固有振动的线性组合，未必是简谐振动，甚至一般是非周期振动。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture工程实际中的振动系统大多比较复杂，要分析一个复杂的系统，首先要建立一个便于分析的数学模型，这就是建立系统的振动微分方程。常用的方法主要有直接法、影响系数法、拉格朗日法以及有限元等方法。直接法影响系数法拉格朗日法多自由度系统振动微分方程装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture1）直接法所谓直接法就是直接应用动力学的基本定律或定理，例如利用牛顿第二定律或达朗贝尔原理，来建立系统振动微分方程的方法。以前建立单自由度和二自由度振动系统的微分方程，就是采用的这种方法。该方法特点：分析比较直观、简便，适用于比较简单的系统。基本步骤：a)对各质量取隔离体，进行受力分析；b)根据牛顿第二定律，建立振动微分方程。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture解：1）受力分析选取m1，m2和m3离开平衡位置的坐标x1，x2和x3为3个独立坐标。受力分析如图所示2）建立振动微分方程m1：m2:m3:)()()(1221212222121211tpxkxkkxcxccxm)()()(233122322332122232222tpxkxkxkkxcxcxccxm)(32333223233233tpxkxkxcxcxm以上三式，可用矩阵形式表示为)()()(0000000000321321333322221321333322221321321tptptpxxxkkkkkkkkkxxxcccccccccxxxmmm)(1tpKXXCXM装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture2）影响系数法如果在选定运动坐标后，能够设法求得与坐标相对应的质量矩阵和刚度矩阵，就可以按照微分方程的一般形式写出振动微分方程。为此，引入利用影响系数法求矩阵的方法。a)刚度矩阵的影响系数法对于n自由度的振动系统，刚度矩阵K为nxn矩阵，具有nxn个元素，这些元素称为刚度影响系数。刚度影响系数的定义为使系统的第j个坐标产生单位位移，而其他坐标位移为零时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小；即当，时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小。ijkijk1jx);3,2,1(0jrnrxr装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture用影响系数法求下图所示的三自由度振动系统刚度矩阵K。解：1）令，则0,1321xxx0;;1331212122121121111kkkxkkkkkxkxkk装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture2）令，则0,1312xxx323322332232222;kxkkkkkxkxkk3）令，则0,1213xxx33333kxkk装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture33332222100kkkkkkkkkK所以，系统的刚度矩阵为：装备制造学院CollegeofEquipmentManufactureb)柔度矩阵的影响系数法对于多自由度的振动系统，，称为作用力方程；称为位移方程，其中，称为柔度矩阵。在某些问题中求刚度矩阵比较困难，但柔度矩阵比较容易求得。这时可以先求得柔度矩阵，利用柔度法建立系统的微分方程。柔度矩阵F中的系数称为柔度响应系数，其定义为：在第j个坐标上所需施加单位力作用时，在第i个坐标上所引起的位移。0KXXM0XXFM1KFij装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture注意：对弹性系统，刚度矩阵总是存在的，而柔度矩阵不一定存在。当系统自由度中包括刚体振型时，就无法确定柔度系数。从数学上讲，系统的刚度矩阵为奇异时，不存在逆矩阵，系统为半正定的。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3）拉格朗日法拉格朗日法从能量的观点建立系统的动能T、势能U和功W之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。它是一种普遍、简单和统一的方法，适用于简单或复杂系统的分析。其处理的方法为：取n个自由度系统的n个互为独立地变量,q1,q2…qn为广义坐标，则拉格朗日方程的形式为),....,3,2,1(0)(niQqTqTdtdiii式中，T为系统总动能；qi为系统广义坐标；Qi为对应于广义坐标qi的广义力。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture根据Qi的不同表达形式，拉格朗日方程存在以下几种表达方式1）系统为保守系统，即系统作用的主动力仅为势力时，广义力可以表达为iiqUQ式中，U为系统的势能。则保守系统的拉格朗日方程为),....,3,2,1(0)(niqUqTqTdtdiii装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture2）当系统除了势力作用以外，还存在其他非势力的作用，则将这部分非势力的虚功记为niiiqQW1式中，Qi为非势力广义力。此时拉格朗日方程推广到非保守系统，可表示为),....,3,2,1()(niQqUqTqTdtdiiii装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3）如果将应为能量耗散函数D引起的阻尼力也从其他的非势力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力，则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：),....,3,2,1()(niQqDqUqTqTdtdiiiii式中，即为有阻尼振动系统的自由振动微分方程，是利用能量（动能、势能和能量耗散函数）以及其他外部广义力表达的完全的拉格朗日方程装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture利用拉格朗日法，对下图三自由度振动系统建立微分方程。。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture五、MATLAB在汽车振动分析中的应用装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture1、MATLAB软件及其特点了解软件的特点2、MATLAB语言程序设计熟悉MATLAB语言程序设计的特点、方法和技巧，能够数量编写计算程序。MATLAB有很强的数值矩阵处理能力，它的基本元素是矩阵。列向量被当作只有一列的矩阵；行向量被当作只有一行的矩阵；标量被认为是一行一列的矩阵。矩阵的定义；矩阵的运算；MATLAB的函数；MATLAB的控制语句；M文件的编写（.m为扩展名）；MATLAB的图形命令；Simulink的应用。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3、MATLAB在汽车振动分析中的应用实例单自由度简谐激振问题装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture车身车轮二自由度振动问题装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture本章结束