机械振动学课件分析

kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。优点：模型简单；分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。多自由度系统振动k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。多自由度系统振动m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：分别考虑了人与车、车与车轮之间的相互耦合，模型较为精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动教学内容•多自由度系统的动力学方程•多自由度系统的自由振动多自由度系统振动•作用力方程•刚度矩阵和质量矩阵•位移方程和柔度矩阵•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质•耦合与坐标变换•多自由度系统的动力学方程第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程•作用力方程几个例子例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程解：,1x2x21,mm的原点分别取在的静平衡位置。建立坐标：设某一瞬时：21mm、、1x2x上分别有位移21xx、加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xmm1P2(t)k2(x1-x2)22xmm2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程建立方程：)()()()(2232122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm矩阵形式：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xmm1P2(t)k2(x1-x2)22xmm2k3x2第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程例2：转动运动两圆盘转动惯量21,II轴的三个段的扭转刚度321,,kkk试建立系统的运动微分方程。1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM)(),(21tMtM外力矩第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程解：建立坐标：角位移21,设某一瞬时：角加速度21,受力分析：1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM11k11I)(1tM)(212k22I)(2tM23k)(122k21第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程建立方程：)()()()(2232222121211111tMkkItMkkI矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII坐标间的耦合项11k11I)(1tM)(212k22I)(2tM23k)(122k第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII可统一表示为：)(tPXKXM例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为n维矩阵或列向量第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程)(tPXKXMn个自由度系统:nnnjnnjnjmmmmmmmmm.......................................122211111M)()()()(21tPtPtPtnPnnnjnnjnjkkkkkkkkk.......................................122211111KnTnRxxx],...,,[21Xnnnn1n质量矩阵第j列刚度矩阵第j列n维广义坐标列向量第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程•刚度矩阵和质量矩阵当M、K确定后，系统动力方程可完全确定M、K该如何确定？)(tPKXXM作用力方程：nRX先讨论K加速度为零0X)(tKPX假设外力是以准静态方式施加于系统准静态外力列向量静力平衡第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程)(tPKXXM作用力方程：nRX)(tPKX假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.即：TTnjjjxxxxx]0,...,0,1,0,...,0[],...,,,,...,[111X00100.......................................)()()()(12221111121nnnjnnjnjnkkkkkkkkktPtPtPtP代入：njjjkkk21第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.......................................)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列.ijk（i=1~n）：在第i个坐标上施加的力.结论：刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力.第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.......................................)()()()(P结论：刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力.第j个坐标产生单位位移刚度矩阵第j列系统刚度矩阵j=1~n确定第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程)(tPKXXM作用力方程：nRX讨论M√假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移.)(tPXM00100.......................................)()()()(12221111121nnnjnnjnjnmmmmmmmmmtPtPtPtP假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度.njjjmmm21第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.......................................)()()()(P这组外力正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力ijm第j个坐标单位加速度质量矩阵第j列系统质量矩阵j=1~n确定第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程质量矩阵M中的元素mij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力.mij、kij又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法.刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力.第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程例：写出M、K及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态令T001X0221kkk使m1产生单位位移所需施加的力：2111kkk221kk031k保持m2不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m1产生单位位移，m2和m3不动.在三个质量上施加力能够使得001321xxxX系统刚度矩阵的第一列第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程例：写出M、K及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态令T001X刚度矩阵：??0????221kkkK使m1产生单位位移所需施加的力：2111kkk221kk031k保持m2不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m1产生单位位移，m2和m3不动.第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程例：写出M、K及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态365322kkkkkk使m2产生单位位移所需施加的力：保持m1不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m2产生单位位移，m1和m3不动.在三个质量上施加力能够使得010321xxxX系统刚度矩阵的第二列令T010X212kk653222kkkkk332kk第四章多自由度系统振动/4.1多自由度系统的动力学方程例：写出M、K及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态使m2产生单位位移所需施加的力：保持m1不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m2